2024年山东省青岛市第二十六中学中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：120分） 2024年5月
说明：
1．试题命制/审核：青岛市市南区教研员、青岛市第二十六中九年级数学组．
2．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷 兼爱齐山（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 华为Mate40pr手机搭载麒麟9000处理器，这是手机行业首批采用5nm工艺制式的芯片，1nm=0.000 000 001m，那么5nm用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中有80次摸到黑球，估计袋中红球的个数是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图几何体的三视图绘制正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将△ABC 的绕点P按逆时针方向旋转45°，得到△A′B′C′，则点C的对应点C′的坐标是（ ）
A （1，2）B. （1，+1）C. （2，1）D. （+1，1）
9. 如图，在矩形中，是的中点，将折叠后得到，点在矩形内部，延长交 于点，若，，则折痕的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
第Ⅱ卷 博学济海（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
12. 某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为_____．
13. 已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为______．
14. 为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分）成正比例；燃烧后，与成反比例．若，则的取值范围是_______．
15. 一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为，（，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度是__________．
16. 如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．
如图，当时，；
如图，当时，；
如图，当时，；
……
依此类推，当（为正整数）时，_____．
三、作图题（本大题满分4分）
用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17. 如图，已知和边上一点．求作：，使满足：
①圆心在内部；
②与的两边相切，且其中一个切点为．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18. 计算
（1）化简：；
（2）解不等式组，并写出不等式组的最小整数解．
19. 在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到）；
（2）试估算口袋中白球有多少个？
（3）若从中摸出一个球后不放回，再从余下的球中摸出一个，请用列表法或画树状图的方法（只需要选其中一种），求两次摸到的球的颜色相同的概率．
20. 如图，海中有一小岛A，今有一货轮由南向北航行，开始在A岛西南方向的B处，往北行驶30海里后到达该岛南偏西的C处．之后，货轮继续向北航行一艘快艇从A岛出发，沿北偏西方向行驶，恰好在D处与货轮相遇，求相遇时快艇行驶的距离．
（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
21. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
22. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？
（2）“篮球运球”中位数落在_______等级；
（3）将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩；
（4）青岛市今年参加体育中考的人数约为8.5万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由．
23. 模型】
同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．
已知，如图，中，为线段上任意一点，连接，则有：．
【模型应用】
（1）如图，任意四边形中，、分别是、边的中点，连接、，若四边形的面积为，则 ___________ ．
（2）如图，在任意四边形中，点、分别是边、上离点和点最近的三等分点，连接、，若四边形的面积为，则 ___________．
（3）如图，在任意四边形中，点、分别是边、上离点和点最近的等分点，连接、，若四边形的面积为，则 ___________ ．
【拓展与应用】
（4）如图，若任意的十边形的面积为，点、、、、、、、分别是、、、、、、、边上离点、、、、、、、最近的四等分点，连接、、、、、、、，则图中阴影部分的面积是___________．
24. 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．
（1）求证：①是的切线；
②；
（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．
25. 某商场在试销一种进价为20元/件的商品时，每天不断调整该商品的售价以期获利更多，经过20天的试销发现，第一天销售量为78件，以后每天销售量总比前一天减少2件，且第1天至第10天，商品销售单价p与天数x满足：p＝30+x；第11天至第20天，商品销售单价p与天数x满足：p＝20+．
(1)写出销售量y(件)与天数x(天)的函数关系式；
(2)求商场销售该商品的20天里每天获得的利润w(元)与x的函数关系式；
(3)该商品试制期间，第几天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？
26. 已知：如图，在矩形中，，，对角线交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，交于点，连接分别交于点，．设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为，求与的函数关系式．
（3）延长交于点，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
摸球的次数n
2048
4040
10000
12000
摸到白球的次数m
1061
2048
4979
6019
摸到白球频率
0.518
0.5069
0.4979
0.5016