2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷，共19页。
2.若复数a+bi1+2i(a,b∈R)为纯虚数，则ab=( )
A. −52B. −2C. 25D. 12
3.一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为9100m3，若它的两底面边长分别为60m和50m，则此时鱼塘的水深( )
A. 2mB. 2.5mC. 3mD. 4m
4.如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′=2，A′C′=B′C′= 10，则在原平面图形△ABC中有( )
A. AC=BCB. AB=2C. BC= 82D. S△ABC=3 2
5.已知tanα=2，则sin2α+cs2αsin2α+cs2α的值为( )
A. 15B. 13C. 35D. 45
6.函数f(x)=x+ln( x2+1+x)⋅csx在[−2π,2π]上的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=EA，CF=2FB，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P，使得PE⋅PF=λ成立，那么λ的取值范围为( )
A. (−3,−14)B. (−3,3)C. (−14,3)D. (3,12)
8.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，则Sa2+4bc的最大值为( )
A. 216B. 312C. 316D. 218
9.下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是( )
A. M={12,1,32}，N={−6,−3,1}，f(12)=−6，f(1)=−3，f(32)=1
B. M=N={x|x≥−1}，f(x)=2x+1
C. M=N={1,2,3}，f(x)=2x+1
D. M=Z，N={−1,1}，f(x)={−1,x为奇数1,x为偶数
10.已知O为坐标原点，点P1(csα,sinα)，P2(csβ,−sinβ)，P3(cs(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则( )
A. |OP1|=|OP2|B. |AP1|=|AP2|
C. OA⋅OP3=OP1⋅OP2D. OA⋅OP1=OP2⋅OP3
11.已知函数f(x)=cs(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心，则下列正确的是( )
A. ω的值可能是3B. f(x)的最小正周期可能是2π3
C. f(x)在区间[0,π16]上单调递减D. f(x)图象的对称轴可能是x=3π8
12.在△ABC中，∠A=60∘，AB=3，AC=2，则BC=______；若BD=2DC，AE=λAC−AB(λ∈R)，且AD⋅AE=−4，则λ的值为______.
13.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，则它的外接球的表面积为______；若 E为B1C1的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面面积为______.
14.函数f(x)=|lg5(1−x)|(x0，b>0，a+b=1，求1a(b+1b)的最小值.
16.在①2sin(A+π6)=a+cb，②(a+c−b)(a+c+b)=3ac，③sinA−sinBa−c=sinCa+b这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题.
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____.
(1)求B；
(2)若BC=3AB，求sinA.
17.2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y(单位： ℃)与时间(单位：分钟)的部分数据如下表所示：
(1)给出下列三种函数模型：①y=at+b(a0,01)，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式：
(2)根据(1)中所求模型，
(i)请推测实验室室温(注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定)；
(ii)求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.1).
(参考数据：lg3≈0.477，lg5≈0.699)
18.如图所示，△ABC为等边三角形，AB=4 3.I为△ABC的内心，点P在以I为圆心，1为半径的圆上运动.
(1)求出(PA)2+(PB)2+(PC)2的值.
(2)求PA⋅PB的范围.
(3)若xPA+yPB+zPC=0(x,y,z∈R)，当xy最大时，求zx+y的值.
19.已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2，…，xn∈D2，使得g(xi)=f(x0)(其中i=1，2，…，n，n∈N*)，则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”.
(1)判断g(x)=x2−2x+1(x∈[0,4])是否为f(x)=x+4(x∈[0,5])的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
(2)若g(x)=ax2+(2a−3)x+1,−2≤x≤1x−1,x>1为f(x)=lg22x+22x+1的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
(3)函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[2]=2，[−1.2]=−2，若h(x)=ax−[ax]，x∈(0,2)为f(x)=xx2+1，x∈[0,+∞)的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合A={x|x