四川省成都市2024届高三下学期第三次诊断性检测文科数学试题

这是一份四川省成都市2024届高三下学期第三次诊断性检测文科数学试题，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回，已知，则，已知直线l等内容，欢迎下载使用。
本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，只将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知a，b是两条不同的直线，是平面，若，，则a，b不可能（ ）
A．平行B．垂直C．相交D．异面
4．“数九”从每年“冬至”当天开始计算，每九天为一个单位，冬至后的第81天，“数九”结束，天气就变得温暖起来．如图，以温江国家基准气候站为代表记录了2023~2024年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温”（单位：℃），下列说法正确的是（ ）
A．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升
B．“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”低0.1℃
C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差
D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差
5．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．－2B．2C．D．
6．设，双曲线C的方程为，则“C的离心率为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．如图，由观测数据的散点图可知，y与x的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得y关于x的回归方程．已知，，则（ ）
A．B．C．1D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．2D．－2
9．已知直线l：与：相交于A，B两点，若是直角三角形，则实数a的值为（ ）
A．1或1B．或C．或－1D．或
10．将函数的图象向左平移个单位后，与函数
的图象重合，则的最小值为（ ）
A．9B．6C．3D．2
11．已知函数，若实数m，n满足，则（ ）
A．1B．2C．eD．4
12．在棱长为5的正方体中，Q是中点，点P在正方体的内切球的球面上运动，且，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．
13．已知函数，则的值为______．
14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为______．
15．若不等式对任意恒成立，则实数a的最大值为______．
16．设F为抛物线C：的焦点，过F的直线与C相交于A，B两点，过点A作C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，则（其中O为坐标原点）的值为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用，某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟，
（Ⅰ）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（Ⅱ）若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在和的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在的概率．
18．（本小题满分12分）
设为数列的前n项和，已知．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）设，，求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，，．
（Ⅰ）证明：平面平面ABCD；
（Ⅱ）若，，F为CE中点，求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，当l过坐标原点O时，．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当l斜率存在时，线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之和为定值．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）若有两个零点，求a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分12分）选修4－4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且为线段AB的三等分点，求实数m的值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，函数的最小值n，若非零实数a，b，c满足，证明：．
成都市2021级高中毕业班第三次诊断性检测
数学(文科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(每小题５分，共60分)
1．D；2．B；3．C；4．D；5．A；6．B；7．C；8．A；9．A；10．C；11．B；12．B．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：(每小题５分，共20分)
13．4； 14．； 15．3； 16．．
三、解答题：(共70分)
17．解：(Ⅰ)由题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数
．
所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49．
(Ⅱ)抽取的6人中寒假期间每天课外阅读平均时长在内有：人，
在内有：人，
设内的2人记为：A，B；内的4人记为：．
从这6人中随机选2人的基本事件有：
共15种，
其中至少有一人每天课外阅读平均时长在的基本事件有共9种，
设“选取的2人中至少有一人每天课外阅读平均时长在”，则．
18．解：(Ⅰ)当时，，得，
由，①
当时，②，
①－②得：，
整理得：，
所以，且，
∴是以2为首项，2为公比的等比数列．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
∴，．
∴．
19．解：(Ⅰ)在中，由余弦定理．
∵，∴．∵，，∴，
∵，，∴平面EDB．
又平面ABCD，∴平面平面ABCD．
(Ⅱ)∵F是EC中点，∴．
由(Ⅰ)得平面EDB，平面EDB，∴．
∵，，∴平面ABCD，
∴．∴．
故三棱锥的体积为．
20．解：(Ⅰ)直线l过坐标原点O时，，∴．
又∵，∴．∴．
∴椭圆C的方程为．
(Ⅱ)假设存在定点，，
设直线l：，，，
由消去y，得．
其中，，．
．
∴当时，为定值．
∴存在定点，使得直线QA与直线QB的斜率之和恒为0．
21．解：(Ⅰ)当时，，
，注意到函数与均在单调递增，
∴在上单调递增．
由，
，，在上单调递减；
，，在上单调递增．
综上，的单增区间为，单减区间为．
(Ⅱ)令，设函数，．
函数有两个零点等价于函数有两个零点．
①当时，，
当时，；当时，；当时，．
∴在上只有一个零点，故不合题意．
②当时，
，令，
，令得，
在上单调递减，上单调递增，∴．
∵，时，，时，．
由零点存在定理得存在，使得，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增．
由时，，时，，且，
故当时，函数有且仅有一个零点，不合题意；
当时，，
此时在，上各有一个零点．满足题意．
由在上单调递增，且．
故当时，，不合题意；
当时，，满足题意．
综上，a的取值范围为．
22．解：(Ⅰ)由曲线C的参数方程(t为参数)，
消去参数t可得曲线C的普通方程为．
由直线l的极坐标方程得：．
∵，，
∴直线l的直角坐标方程为．
(Ⅱ)直线l的参数方程为(t为参数)．
与曲线C：联立得：，，
设A，B两点对应的参数分别为，，则，．
∵M为线段AB的三等分点，∴．
代入可得，．
代入，可得．
即，解得或均满足．
故m的值为2或9．
23．解：(Ⅰ)当时，，解得；
当时，，，解得．
综上，所求不等式的解集为．
(Ⅱ)由题意，当时，的最小值为2．
∴．
．
当且仅当时等号成立，不等式得证．时长t
学生人数
50
100
200
125
25