湖南省邵阳市绥阳县2024届高三下学期冲刺（一）数学试卷（原卷版+解析版）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
3. 若点在双曲线的一条渐近线上，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ）
A. B. C. D.
5. 记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A. 6B. 3C. 1D.
6. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C D.
7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知均为锐角，，则（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有关数据显示，年轻一代的父母更加重视亲子陪伴，以往“以孩子为中心”的观念正逐步向与孩子玩在一起、学在一起的方向转变．如图为2023年中国父母参与过的各类亲子活动人数在参与调查总人数中的占比，根据该图，下列说法正确的是（ ）
A. 在参与调查总人数中父母参与过的亲子活动最多的是亲子阅读
B. 在参与调查的总人数中同时参与过亲子阅读与亲子运动会的父母不少于
C. 图中各类亲子活动占比的中位数为
D. 图中10类亲子活动占比的极差为
10. 已知圆，点是圆上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆关于直线对称
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最大值为
11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ）
A. 是奇函数B.
C. 的图象关于对称D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则在复平面内，所对应的点的坐标为______．
13. 将函数图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是函数的一个极值点，则的最小值为______．
14. 已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为，且的周长为．
（1）求；
（2）若，，为边上一点，，求的面积．
16. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，点是棱的中点，点为棱上一点，且．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：
设此次停车中，甲所付停车费用为，乙所付停车费用为．
（1）在的条件下，求的概率；
（2）若，求随机变量的分布列与数学期望．
18. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，且，其中为坐标原点．
（1）求的方程；
（2）若垂直于直线的直线与交于不同的两点，且以为直径的圆过两点，求直线的斜率．
19. 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道，与分别叫做函数的通道下界与通道上界．
（1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；
（2）若，证明：存在宽度为2的通道；
（3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由．
停车时间/分钟
甲
乙