第07讲 因式分解的高端方法-【专题突破】2021-2022学年七年级数学下学期精选专题思维拓展演练（苏科版）

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分解因式
⑴ ⑵
⑴原式=
⑵原式=
⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ）
①； ②；
③； ④；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
⑵因式分解：，正确的分组是（ ）
A. B.
C. D.
⑶将多项式分解因式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
⑷将多项式分解因式，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】(1) B (2) D (3) B (4) B
分解下列因式
= 1 \* GB2 ⑴ = 2 \* GB2 ⑵
= 3 \* GB2 ⑶ ⑷
⑸ ⑹
【答案】(1) (x－1)(y－1) (2) (a＋1)(a－1)(b＋1)(b－1)
(3) m(5a＋3b)(a－3) (4) (a－b＋1)(a－b－1)
分解因式
⑴ ⑵
【答案】(1) (x－y)(x＋y＋z) (2) EQ \b\bc\((\l(ay\S(2)＋b\S(2)x))(xy＋ab)
分解下列因式
⑴ ⑵
⑷
【解析】（1） （2）；
x -2
x -3
x 2
x 3
⑶； ⑷
x -6
x 1
x 6
x -1
分解因式：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
⑸ ⑹
【答案】(1) (x＋2)(x＋5) (2) (x＋2y)(x－12y) (3) (x－4)(x－9)
(4) (2x＋1)(x－1) (5) (2x＋y)(x－2y) (6) (4x＋3y)(3x－5y)
请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
【答案】(1) (x－1)(x－b) (2) (x＋1)(kx－k＋3) (3) (3x－2y－1)(x＋2y＋3) (4) (2a＋3b＋2)(3a＋b－1)
【例6】已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【答案】△ABC是等边三角形．
证明如下：∵2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，
∴a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴（a﹣b）2＝0，（a﹣c）2＝0，（b﹣c）2＝0，得a＝b且a＝c且b＝c，
即a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．
【例7】阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：
例：分解因式：
解：如图1，其中，，而
所以

而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式
例：分解因式
解：如图3，其中，，
而，，
所以
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：① ．② ．
（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【答案】（1）；；（2）61或-82．
【解析】解：（1）①如下图，其中，
所以，；
②如下图，其中，
而，
所以，；
（2）如下图，其中，而
或，
∴若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，的值为61或-82．
训练1. 分解因式：
⑴ ；
⑵ ．
⑶；
⑷．
训练2. 分解因式：⑴．
⑵
训练3. 如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
【答案】3
【解析】解：如图所示：
共有3种不同的正方形．故答案为3．
训练4. 如果都是非零整数，且，那么就称是“4倍数”．
（1）30到35之间的“4倍数”是_________，小明说：是“4倍数”，嘉淇说：也是“4倍数”，他们谁说的对？____________．
（2）设是不为零的整数．①是___________的倍数；②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为____________，它_____________（填“是”或“不是”）32的倍数．
（3）设三个连续偶数的中间一个数是（是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．
【答案】（1）32；小明；（2）①2；②或；是.（3）三个连续偶数为，，，说明见解析.
【解析】解：（1）30到35之间的“4倍数”是32；=,可见是“4倍数”，所以小明说的对．
（2）①与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数；
②==，即或；
中与是一个奇数，一个偶数，所以是2的倍数，则是32的倍数．
（3）三个连续偶数为，，．
∵为整数，∴是“4倍数”.
训练5. 王老师安排喜欢探究问题的小明同学解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．
即： （m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．
为什么要对2n2进行了拆项呢？聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周长．
【答案】（1）-；（2）△ABC的周长为16或17.
【解析】（1）∵x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，∴x2－4xy＋4y2 ＋y2＋2y＋1＝0．
即：（x-2y）2＋（y+1）2＝0，∴x-2y＝0，y+1＝0，∴x＝－2，y＝-1，∴xy=(-2)-1=-；
（2）∵a2－10a＋b2－12b＋61＝0，∴a2－10a＋25＋b2－12b＋36＝0，
即：（a-5）2＋（b-6）2＝0，∴a-5＝0，b-6＝0，∴a＝5，b＝6，
∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16，
当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17，故△ABC的周长为16或17．
【练习1】分解因式：
(1)(2) (3)(4)
【解析】(4)解：原式
(5)
【解析】==．
(6)
【解析】解：原式．
(7)
【答案】．
【解析】原式．
(8)
【解析】=．
【练习2】(1)已知，则，的值是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n），得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m
所以n=-1，m=5．故选：C．
(2)计算结果为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：=（x-6）（x+1）故选D
(3)若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：利用十字交乘法将因式分解，可得：．
，，．故选：A．
【练习3】(1)多项式可分解为两个一次因式的积，整数的值是 （写出所有情况）.
(2)若多项式在整数范围内能分解因式，把你发现字母m的取值规律用含字母n（n为正整数）的式子表示为 ．
【练习4】(1)设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】解：∵a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，∴a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0，
（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，（a-b）（a2+b2-c2）=0，
所以a-b=0或a2+b2-c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故选：D.
(2)已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（ ）
A．B．或C．1D．1或11
【答案】D
【解析】解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11，即a（a－b）－c（a－b）＝11，（a－b）（a－c）＝11，
∵a＞b，∴a－b＞0，∴a－c＞0，∵a、b、c是正整数，∴a－c＝1或a－c＝11，故选D．
(3)已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【答案】3
【解析】解：∵a=2019x+2016，b=2019x+2017，c=2019x+2018，
∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=
===3，故答案为：3．
【练习5】先分解因式，再求值：，其中，．
【答案】，．
【解析】原式，，，
当，时，原式．
【练习6】请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：
（1）===
（2）===
（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解：
(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)= (_____________)(_____________)；
=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)= (_____________)(______________)．
（2）分解下列因式：①；②．
【答案】（1）；；；；；；；；；；；；（2）①；②
【解析】解：（1）()-()=-= ()()；
=()+()= +()=
故答案为：；；；；；；；；；；；；
（2）①==
②==
=