上海市四校2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份上海市四校2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．不等式的解集为________.
2．底面半径长为1,母线长为的圆锥的体积为________.
3．已知复数,则________.
4．已知,则________.
5．抛物线的标准方程为________.
6．已知,则________.
7．已知函数在区间上的最大值为2,则正数的最小值为________.
8．上海国际电影节影片展映期间,某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影,两部纪录片和两部悬疑片,当天白天有5个时段可供放映(5个连续的场次),则两部悬疑片不相邻(中间隔空场也叫不相邻),且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有________.种(结果用数字表示).
9．已知点,,直线与交于点M,则的最大值为________.
10．已知定义在上的函数且,则函数的零点个数为________.
11．如图所示,图1中涂色小正方形个数,图2中涂色小正方形个数,图3中涂色小正方形个数,图4中涂色小正方形个数,按照图中所示规律则________.
12．已知实数a,b,若对任意,不等式恒成立,
则的最大值为________.
二、选择题
13．若是关于x的方程的一个根(其中i为虚数单位,p,),则q的值为( )
A.B.2C.D.1
14．已知,是两个不共线的单位向量,,则“且”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
15．已知直线,点,设下列条件中可以推出直线与线段的延长线相交的是( )
A.B.C.D.
16．已知四棱锥的底面为矩形,平面ABCD,点Q为侧棱PA(不含端点的线段)上
则点Q在平面PBC上的射影在( )
A.棱PB上B.内部C.外部D.不确定
三、解答题
17．如图,在三棱锥中,平面BCD,平面平面ABD,,,
（1）证明:;
（2）求二面角的正切值.
18．我们平时常用的视力表叫做对数视力表,视力呈现为4.8,4.9,5.0,5.1.视力为正常视力.
否则就是近视.某校进行一次对学生视力与学习成绩的相关调查,随机抽查了100名近视学生的成绩(按照各科占一定权重计算而得的满分100分的综合成绩),得到频率分布直方图如下:
（1）估计该校近视学生学习成绩的第85百分位数;(精确到0.1)
（2）已知该校学生的近视率为54%,学生成绩的优秀率为36%(成绩分视作优秀),从该校学生中任选一人,若此人的成绩为优秀,求此人近视的概率.(以样本中的频率作为相应的概率)
19．在中,若
（1）试判断的形状;
（2）如果三角形面积等于4,求三角形周长的最小值.
20．已知点,,椭圆与双曲线有相同的焦点.
（1）求双曲线的方程与离心率.
（2）点为双曲线(且)的一部分上的动点.
证明:过点双曲线的切线等分的面积(O为原点).
（3）设双曲线的切线与椭圆交于C,D两点,求动弦CD中点M的轨迹方程.
21．已知函数的表达式为
（1）当时,证明;
（2）当时,讨论函数的单调性;
（3）若对恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：
解析：,
2．答案：
解析：,,,
3．答案：
解析：,
4．答案：
解析：,
5．答案：
解析：标准方程为
6．答案：1
解析：,
7．答案：
解析：,
8．答案：44
解析：悬疑片在第一个时间段开始放映,最先放映的一定是悬疑片的排片方法有种
悬疑片在第二个时间段开始放映,最先放映的一定是悬疑片的排片方法有种
所以当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有种
9．答案：
解析：,,,,
直线过定点,,过定点,,
确定的圆方程为,即M在圆上,设,,
,
则的最大值为
10．答案：643
解析：,,,,
,
,
函数的零点个数有
11．答案：1289
解析：设为每个拓展边界形成的正方形中的空白格,
,,,,,,
规律:4个方向以及中间内用所迭代形成的封闭图形,
例如:区域为的四个方向(由形成)
例如:中间的区域为用所迭代形成的封闭图形
设为的边长,为第幅图中中心空白格
,,,
若求,则通项公式为
,,
,…
12．答案：24
解析：,
,,,
,,
综上所述:的最大值为24
13．答案：B
解析：
14．答案：A
解析：
所以充分条件成立,反之,,不能推出“且”,故选A.
15．答案：C
解析：直线l与线段AB的延长线相交,如图所示,
故选C.
16．答案：C
解析：如图所示,面
所以点Q在平面PBC上的射影在线段PH上,在外部,故选C.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:面BCD,因为面BCD,
所以,同理可得
因为面面BCD,面面,面BCD,且,
所以面ABC,又因为面ABC,所以
（2）取CD中点M,并联结AM,BM因为,所以
由勾股定理可知,因为
所以,是二面角的一个平面角.
又因为面BCD,,设可得,
所以二面角的正切值为
18．答案：（1）95.8
（2）0.72
解析：（1）由频率分布直方图可知,成绩90分以下所占比例为,
因此第85百分位数一定位于内,由.
可以估计该校近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8
（2）设事件A表示“该校近视学生”,事件B表示“该校优秀学生”,
由题设得,,,
所以
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）
得,,,,,,,,
所以是直角三角形.
（2）设三个角A,B,C所对的边分别为a,b,c,又,,,
的周长为
当且仅当时,等号成立,所以的周长最小值为.
20．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）,解得
双曲线的方程为,离心率
（2）,过点P双曲线切线的斜率
切线方程为,即
设l与交于点E,设l与交于点F,
,,,
而,双曲线在处的切线恰为的边OB上中线,
双曲线在处的切线恰为边OA上中线,
过点双曲线的切线等分的面积(O为原点).
（3）设,,,
将C,D坐标代入椭圆方程,,
将两式做差得,即
由切线过中点有解得:
,代入,化简得
动弦CD中点M的轨迹方程为:
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）
解析：（1）当时,,,
当时,,在上单调递增,
当时,,在上单调递减;
函数在时取到最大值0,故
（2）由题设得
当时,,当时,,,在上单调递增,
当时,,在上单调递增,
在上单调递减,在上单调递增.
（3）当时,即
下面证明当时,即证
令,因为,所以,只需证
即证,令,
令,令
与在上单调递减,
所以在上单调递减,,
所以存在,使得,即所以,,,,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
令,,,
所以在上单调递增,所以
所以,,所以在上单调递减,
,,,,
所以在上单调递增,在上单调递减,所以,
综上所述.