中考数学全等三角形专项训练及答案

这是一份中考数学全等三角形专项训练及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.下列命题中不成立的是（ ）
A. 矩形的对角线相等
B. 三边对应相等的两个三角形全等
C. 两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等
3.下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的是（ ）
A. 乙和丙 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 只有甲
4.在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A′B′C′，则补充的这个条件是：（ ）
A. BC=B′C′ B. ∠A=∠A′ C. AC=A′C′ D. ∠C=∠C′
5.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）.
A. ∠M=∠N B. AM=CN C. AB=CD D. AM∥CN
6.如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠EAM=∠FAN B. BE=CF C. △ACN≌△ABM D. CD=DN
7.△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则在图中能够作出△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）
A. 6＜AD＜8 B. 2＜AD＜14 C. 1＜AD＜7 D. 无法确定
9.如图所示，一位同学书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）.
A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
10.如图，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，则以下结论：①OP是∠APB的平分线；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正确的有（ ）个．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G， 连接BE；下列结论中：①CE=BD；②∠ADB=∠AEB；③△ADC是等腰直角三角形；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12.如图所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是 ( )
①△APC≌△BPD ②△ADO≌△BCO ③△AOP≌△BOP ④△OCP≌△ODP

A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题
13. 如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：________
14.如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 ________（只填一个即可）
15.△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝________°．
16.如图，AB=AC，点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点F，△ADC≌△AEB，只需增加一个条件，这个条件可以是________．

17.如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为________．
18.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 ________块．
​
19.如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知∠1的度数为________．

20.如图，∠A =∠D ， OA=OD, ∠DOC=50°，则∠DBC=________度．
21.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D在边BC上，连接AD，以点D为顶点，AD为一边作等边△ADE，连接BE，若BC=7，BE=4，∠CBE=60°，则∠EAB的正切值为________．

22.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是 ________（将你认为正确的答案序号都写上）．
三、解答题
23.如图，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，AE交BD于点C，且BC=DC．求证：AB=ED．
24.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，BE∥DF，求证：AF=CE．

25.如图，矩形ABCD，E、F在AB、CD上，且EF∥AD，M为EF的中点，连接AM、DM，求证：AM=DM．

26.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1．
（1）求证：∠BPQ=60°（提示：利用三角形全等、外角的性质）
（2）求BE的长．
27.△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A，B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．
（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；
（2）在图1中，连接AE交BC于M，求 的值；
（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子 的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
答案解析
一、选择题
1.【答案】D
【解析】【分析】A、矩形的对角线相等，成立；
B、三边对应相等的两个三角形全等，成立；
C、两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方，成立；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形．故选：D.
【点评】本题考查学生对一些几何概念和定理的掌握情况，属于基础题。
2.【答案】D
【解析】【解答】解：∵两条直角边对应相等，则斜边相等，故两三角形全等，∴A正确；
∵斜边和一锐角对应相等，则另一锐角对应相等，根据角边角即可求证两三角形全等，∴B正确；
∵斜边和一条直角边对应相等，则另一直角边对应相等，根据边边边即可求证两三角形全等，∴C正确；
∵两锐角相等可证明两三角形相似，但无法证明两三角形全等，∴D错误．
故选D．
【分析】根据求证直角三角形全等对每个选项进行分析，即可解题．
3.【答案】A
【解析】【解答】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等； 在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，
所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，
故选：A．
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
4.【答案】C
【解析】【分析】全等三角形的判定可用两边夹一角，两角夹一边，三边相等等进行判定，做题时要按判定全等的方法逐个验证．
【解答】A、若添加BC=BˊCˊ，可利用SAS进行全等的判定，故本选项错误；
B、若添加∠A=∠A'，可利用ASA进行全等的判定，故本选项错误；
C、若添加AC=A'C'，不能进行全等的判定，故本选项正确；
D、若添加∠C=∠Cˊ，可利用AAS进行全等的判定，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，要认真确定各对应关系．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
【解答】A、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故B选项符合题意；
C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
6.【答案】D
【解析】【解答】解：∵在△AEB和△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴BE=CF，∠EAB=∠FAC，
∴∠EAM=∠FAN，故选项A、B正确；
∵∠EAM=∠FAN，∠E=∠F，AE=AF，
∴△ACN≌△ABM，故选项C正确；
错误的是D．
故选D．
【分析】由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，可证明△AEB≌△AFC，利用全等三角形的性质进行判断．
7.【答案】D
【解析】【解答】解：分三种情况找点，
①公共边是AC，符合条件的是△ACE；
②公共边是BC，符合条件的是△BCF、△CBG、△CBH；
③公共边是AB，符合条件的三角形有，但是顶点不在网格上．
故选D．
【分析】和△ABC全等，那么必然有一边等于3，有一边等于， 又一角等于45°．据此找点即可，注意还需要有一条公共边．
8.【答案】C
【解析】【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
1＜AD＜7．
故选：C．
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
9.【答案】D
【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法可知：除去被墨迹污染的部分仍然有两个角及夹边确定，可以根据ASA确定所画三角形与原三角形全等。故选D.
10.【答案】A
【解析】【解答】连接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），∴PC=PD，∴AC=BD；在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC=∠BOD（等弦对等角），OA=OB（半径），OD=OC（半径），∴△AOC≌△BOD，∴③CA=BD；OE=OF；又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分线；∴②PE=PF；在△PCD和△PAB中，PC：PA=PD：PB，∠DPC=∠BPA，∴△PCD∽△PAB，∴∠PDC=PBA，∴④CD∥AB；
综上所述，①②③④均正确，故答案选A．
【分析】①通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应高相等求得OE=OF；再根据角平分线的性质证明OP是∠APB的平分线；②由角平分线的性质证明PE=PF；③通过证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的对应边相等求得CA=BD；④通过证明△PCD∽△PAB，再根据相似三角形的性质对应角相等证得∠PDC=PBA；然后由平行线的判定得出结论CD∥AB．
11.【答案】D
【解析】【分析】①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD；
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
③利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式；即可得出结论．
【解答】
①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS)，
∴CE=BD，
∴故①正确；
②∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，
∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，
又AB=AB，AD=AE，
∴△BAE≌△BAD（SAS)，
∴∠ADB=∠AEB；
故②正确；
③∵四边形ACDE是平行四边形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴③正确；
④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，
∴△CAE≌△BAE，
∴∠BEA=∠CEA=∠BDA，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE+∠BEA=90°，
∵∠GFD=∠AFE，∠ADB=∠AEB，
∴∠ADB+∠GFD=90°，
∴∠CGD=90°，
∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，
∴△CGD∽△EAF，
∴＝ ，
∴CD•AE=EF•CG．
故④正确，
故正确的有4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；本题综合性强，难度较大，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
12.【答案】A
【解析】【分析】由AO=BO，OC=OD，∠O=∠O，可证得②△ADO≌△BCO，所以有∠COP=∠DOP，又OC=OD，OP=OP，可证得④△OCP≌△ODP，所以有PC=PD，又∠CAP=∠DBP，∠CPA=∠DPB，可证得①△APC≌△BPD，所以有PA=PB，又AO=BO，OP=OP，可证得③△AOP≌△BOP．
【解答】∵AO=BO，OC=OD，∠O=∠O
∴△ADO≌△BCO（SAS)，故②正确；
∴∠COP=∠DOP
∵OC=OD，OP=OP
∴△OCP≌△ODP（SAS)，故④正确；
∴PC=PD
∵∠CAP=∠DBP，∠CPA=∠DPB
∴△APC≌△BPD（AAS)，故①正确；
∴PA=PB
∵AO=BO，OP=OP
∴△AOP≌△BOP（SSS)，故③正确．
故选A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA和HL，做题时，要根据已知条件结合图形进行思考．
二、填空题
13.【答案】△ADF≌△BEC
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAC=∠BCA，
∵BE∥DF，
∴∠DFC=∠BEA，
∴∠AFD=∠BEC，
在△ADF与△CEB中，
，
∴△ADF≌△BEC（AAS），
故答案为：△ADF≌△BEC．
【分析】由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．
14.【答案】OB=OD
【解析】【解答】解：添加条件OB=OD，
在△ABO和△CDO中，
​
∴△AOB≌△COD（ASA），
故答案为：OB=OD．
【分析】添加条件OB=OD，可利用ASA定理证明△AOB≌△COD．
15.【答案】40
【解析】【解答】因为∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，所以∠BAC=80°，∠ACB=60°∠ABC＝40°；又因为△ABC≌△DEF，所以∠DEF=∠ABC＝40°
【分析】首先根据三角形内角和可求得三个角的度数，再根据全等三角形对应角对应相等，即可解得角的度数．
16.【答案】AD=AE
【解析】【解答】解：添加条件：AD=AE， 在△ABE和△ACD中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
故答案为：AD=AE．
【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等或AD=AE即可．
17.【答案】2
【解析】【解答】解：作NF⊥AD，垂足为F，连接DD′，ND′，
∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D′点，折痕为MN，
∴DD′⊥MN，
∵∠A=∠DEM=90°，∠ADD′=∠EDM，
∴△DAD′∽△DEM，
∴∠DD′A=∠DME，
在△NFM和△DAD′中
，
∴△NFM≌△DAD′（AAS），
∴FM=AD′=2cm，
又∵在Rt△MNF中，FN=6cm，
∴根据勾股定理得：MN= = =2 ．
故答案为：2 ．
【分析】作NF⊥AD，垂足为F，连接DD′，ND′，∵将正方形纸片ABCD折叠，使得点D落在边AB上的D′点，折痕为MN，∴DD′⊥MN，由∠A=∠DEM=90°，∠ADD′=∠EDM，得△DAD′∽△DEM再由相似三角形对应角相等得出∠DD′A=∠DME，再由角角边得到△NFM≌△DAD′由全等三角形对应边相等得出FM=AD′，在Rt△MNF中，FN=6cm，由勾股定理得出MN的长度。
18.【答案】2
【解析】【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
19.【答案】70°
【解析】【解答】解：根据三角形内角和可得∠2=180°﹣50°﹣60°=70°， 因为两个全等三角形，
所以∠1=∠2=70°，
故答案为：70°．
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1=∠2=70°．
20.【答案】25
【解析】【解答】∵∠A =∠D ， OA=OD ， ∠AOB =∠DOC,∴△AOB≌△DOC(ASA),OB=OC ， ∴△BOC是等腰三角形 ， ∠DBC =∠ACB,∵∠DOC=50°∴∠DBC=25°．
【分析】结合图形和所给条件可判定两三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应角对应相等，利用等腰三角形的性质和外角就可解得此题．
21.【答案】
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥BE于点F，如图1所示．
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°．
∵∠CBE=60°，
∴∠ADE=∠DBF=60°，
∴BD=2BF，∠ADC+∠BDE=∠DEF+∠BDE=120°，
∴∠ADC=∠DEF．
在△ACD和△DFE中， ，
∴△ACD≌△DFE（AAS），
∴AC=DF，CD=FE．
∵BC=7，BE=4，
∴设CD=FE=x，则：BD=7﹣x，BF=4﹣x．
∵BD=2BF，
∴7﹣x=2（4﹣x），
∴x=1．
∴CD=FE=1，BD=6，BF=3．
∴AC=DF= BF=3 ．
由勾股定理可得：AD=DE=AE= =2 ，AB= =2 ．
过点E作EG⊥AB于点G，如图2所示．
∵AE2﹣AG2=BE2﹣BG2 ，
∴ ﹣AG2=42﹣ ，
∴AG= ，EG= = ，
∴tan∠EAB= = = ．
故答案为： ．
【分析】过点D作DF⊥BE于点F，由等边三角形的性质结合角的计算即可得出AD=DE、∠ADC=∠DEF，利用全等三角形的判定定理AAS即可证出△ACD≌△DFE，由此即可得出AC=DF、CD=FE，由BC=7，BE=4，可设CD=FE=x，则：BD=7﹣x，BF=4﹣x．根据BD=2BF即可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再根据勾股定理即可得出AD、AB的长度，过点E作EG⊥AB于点G，由勾股定理可得AE2﹣AG2=BE2﹣BG2 ， 代入数据可得出AG、EG的长度，利用正切的定义即可得出∠EAB的正切值．
22.【答案】①、②、④
【解析】【解答】解：∵∠BEF=∠ADF=90°，∠BFE=∠AFD
∴①∠ABE=∠BAD 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴②△CEB≌△ADC 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE． 正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
故填①、②、④．
【分析】首先由△AEF与△ADF中分别有两个直角及对顶角得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．
三、解答题
23.【答案】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠D=90°，
在△ABC和△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）
∴AB=DE
【解析】【分析】首先根据垂直可得∠ABC=∠D=90°，再有条件∠ACB=∠DCE，CB=CD，可以用ASA证明△ABC≌△EDC，再根据全等三角形对应边相等得到结论AB=DE．
24.【答案】证明：在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△BEC与△DFA中， ，
∴△BEC≌△DFA，
∴CE=AF．
【解析】【分析】先证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE=AF．
25.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DF，∠BAD=90°，
∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF，∠AEM=∠DFM=90°，
∵M为EF的中点，
∴EM=FM，
在△AEM和△DFM中， ，
∴△AEM≌△DFM（SAS），
∴AM=DM．
【解析】【分析】由矩形的性质得出AE∥DF，∠BAD=90°，再由EF∥AD，证出四边形AEFD是矩形，得出AE=DF，∠AEM=∠DFM=90°，由SAS证明△AEM≌△DFM，得出对应边相等即可．
26.【答案】（1）解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
又∵AE=CD，
∴△BAE≌△ACD，
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，
∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，
∴∠BPQ=60°
（2）解：∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，又∵∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×4=8，∴BE=BP+PE=8+1=9
【解析】【分析】（1）根据已知条件可证△BAE≌△ACD，结论可得证；（2）根据30°所对的直角边等于斜边的一半可求解。
27.【答案】（1）证明：∵△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=90°．
∴CD=CE，∠DCB+∠ECF=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DCB=∠CEF，
在△DBC和△CEF中，
，
∴△DBC≌△CFE
（2）解：如图1，
∵△DBC≌△CFE，
∴BD=CF，BC=EF，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∴AB=EF，AD=BF，
在△ABM和△EFM中，
，
∴△ABM≌△EFM，
∴BM=FM，
∴BF=2BM，
∴AD=2BM，
∴ 的值为2
（3）解： 的值不变．
在EH上截取EQ=DG，如图2，
在△CDG和△CEQ中
，
∴△CDG≌△CEQ，
∴CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，
∵∠DCG+∠DCB=45°，
∴∠ECQ+∠DCB=45°，
而∠DCE=90°，
∴∠HCQ=45°，
∴∠HCQ=∠HCG，
在△HCG和△HCQ中，
，
∴△HCG≌△HCQ，
∴HG=HQ，
∴ = = =1．
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE；（2）由△DBC≌△CFE得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF，AD=BF，接着证明△ABM≌△EFM，得到BM=FM，所以 =2；（3）在EH上截取EQ=DG，如图2，先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ，∠DCG=∠ECQ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG≌△HCQ，则得到HG=HQ，然后可计算出 =1．