数学选择性必修 第三册5.2.1 等差数列教课ppt课件

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基础落实•必备知识全过关
知识点1　等差数列前n项和的函数特征
受n的取值的限制,画出的图象为平面直角坐标系内的一串点
名师点睛1.等差数列{an}的前n项和Sn,有下面几种常见变形:
2.求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法来求其前n项和的最值,但要注意n∈N+,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观.3.求等差数列{an}的前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(　　)(2)等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则数列{an}的公差为2A.(　　)(3)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在 取得.(　　)(4)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值.(　　)2.若数列{an}的通项公式an=2n-37(n∈N+),则当n为何值时Sn取得最小值?
提示 由通项公式易知,a1,a2,…,a18都小于0,所以当n=18时Sn取得最小值.
知识点2　等差数列{an}的前n项和Sn的性质1.若{an}是等差数列,则 也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}的公差的 .2.若Sm,S2m,S3m分别为公差是d的等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成公差是m2d的等差数列.
3.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质:
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若等差数列{an}的项数为2n-1,前n项和为Sn,则Sn=(2n-1)an.(　　)(2)若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则{an}不是等差数列.(　　)2.若{an}是公差为d的等差数列,那么a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是否也是等差数列?如果是,公差是多少?
提示 (a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d.∴a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数列.
重难探究•能力素养全提升
【例1】 (1)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知(2)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.
(2)(方法一)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
规律方法　等差数列前n项和Sn的有关问题中,如果关于Sn的性质运用得当,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(2)等差数列{an}的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和.(3)项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.
(3)解 (方法一)设此等差数列为{an},公差为d,Sn为其前n项和,S奇、S偶分别表示奇数项之和与偶数项之和.由题意知项数为奇数,可设为(2n+1)项,则奇数项为(n+1)项,偶数项为n项,an+1为中间项.由性质知S奇-S偶=an+1,∴an+1=11.又S2n+1=S奇+S偶=44+33=77,∴(2n+1)a1+ =77.∴(2n+1)(a1+nd)=77.又a1+nd=an+1=11,∴2n+1=7.故这个数列的中间项为11,项数为7.
∴项数为2n+1=7.又由S奇-S偶=a中,得a中=44-33=11.故中间项为11,项数为7.
角度1等差数列前n项和的最值问题【例2】 (1)(多选题)在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为Sn(n∈N+),则下列说法正确的是(　　)A.若S3=S11,则必有S14=0B.若S3=S11,则S7是{Sn}中的最大项C.若S7>S8,则必有S8>S9D.若S7>S8,则必有S6>S9(2)在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值.
规律方法　1.等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形:①若a1>0,d200,得12≤n≤13,当14≤n≤31时,日销售量连续下降,由an