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苏科版七年级下册数学第12章证明单元测试卷（附答案）
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这是一份苏科版七年级下册数学第12章证明单元测试卷（附答案），共20页。
第12章证明单元测试姓名：__________ 班级：__________得分：__________注意事项：本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句是命题的是（ ）A．你有橡皮擦吗 B．小华是男生 C．垃圾要分类 D．出门戴口罩2．下列命题是真命题的个数为（ ）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A．2 B．3 C．4 D．53．下列命题是真命题的是（ ）A．如果两个角是内错角，那么它们一定相等 B．如果两个角是同位角，那么它们一定相等 C．如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补 D．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等4．下列语句是命题的是（ ）（1）两点之间，线段最短；（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．（4）过直线外一点作已知直线的垂线；A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）5．如图，在四边形ABCD中，连结BD，判定正确的是（ ）A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若∠3＝∠4，则AD∥BC C．若∠A+∠ABC＝180°，则AD∥BC D．若∠C＝∠A，则AB∥CD6．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（ ）A．①② B．②④ C．②③ D．②③④8．如图，下列说法中错误的是（ ）A．∠1不是三角形ABC的外角 B．∠ACD是三角形ABC的外角 C．∠ACD＞∠A+∠B D．∠B＜∠1+∠29．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD；⑤∠BDC∠BAC．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB∠CGE．其中正确的结论是（ ）A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上11．命题“如果a3＝b3，那么a＝b”是 .（填“真命题”或“假命题”）12．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）13．下列四个命题中：①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内．其中真命题有 （填序号）．14．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．15．如图，如果希望直线c∥d，那么需要添加的条件是： ．（所有的可能）16．如图，下列条件中能得到AB∥CD的有 ．（1）∠1＝∠2 （2）∠2＝∠3 （3）∠1＝∠4 （4）∠3＝∠417．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是 °．18．如图，在△ABC中，∠A＝θ，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝ ．（用θ表示）三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出其条件和结论，判断其真假．（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）负数之和仍为负数．20．命题“如果PQ和MN分别与AB，CD相交于E，F及G，H，且∠1＝∠2，那么∠3+∠4＝180°”是真命题吗？利用图说明理由．21．完成下面的证明：已知：如图，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B．求证：∠1＝∠2．证明：∵∠AED＝∠C（已知），∴ ∥ （ ），∴∠B+∠BDE＝180°（ ），∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换），∴ ∥ （ ），∴∠1＝∠2（ ）．22．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B+∠F＝180°．（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．23．已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）试说明GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．24．如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）25．阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝ ．∵AB∥CD，∴ ∥ ，∴∠FED＝ ．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．26．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由． 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 【分析】根据命题的定义分别进行判断．【解析】垃圾要分类和出门戴口罩都是描叙性语言，它们都不是命题；“你有橡皮擦吗？”是疑问句，它不是命题；小华是男生是命题．2．B【分析】根据平行线的性质和判定、三角形内角和、对顶角和线段的性质判断即可．【解析】①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题．②三角形的内角和是180°，是真命题．③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．⑤两点之间，线段最短，是真命题；3．D 【分析】根据平行线的性质和对顶角判断即可．【解析】A、两直线平行，如果两个角是内错角，那么它们一定相等，原命题是假命题；B、两直线平行，如果两个角是同位角，那么它们一定相等，原命题是假命题；C、两直线平行，如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补，原命题是假命题；D、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，是真命题；4．C 【分析】根据命题的概念判断即可．【解析】（1）两点之间，线段最短，是命题；（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？不是命题；（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题；（4）过直线外一点作已知直线的垂线，不是命题；5．C【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．【解析】A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；C、根据∠A+∠ABC＝180°能推出AD∥BC，故本选项符合题意；D、根据∠C＝∠A不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意．6．C 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．【解析】①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；7．D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【解析】①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．8．C【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【解析】A、∠1不是三角形ABC的外角，正确；B、∠ACD是三角形ABC的外角，正确；C、∠ACD＝∠A+∠B，错误；D、∠B＜∠1+∠2，正确；9．D 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解析】∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴③错误；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°（∠EAC+∠ACF）＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）＝180°（180°+∠ABC）＝90°∠ABC，∴④正确；∠BDC＝∠DCF﹣∠DBF∠ACF∠ABC∠BAC，∴⑤正确，10．B 【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可．②正确．首先证明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．④正确．证明∠DFB＝45°即可解决问题．【解析】∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCA，∵CD平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠DCB，∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠BCA+∠ABC＝90°，∵∠CEG＝∠ACB，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，∴∠DFB∠CGE，故④正确，二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上11． 真命题 . 【分析】根据实数的性质继续判断即可．【解析】“如果a3＝b3，那么a＝b”是真命题；故答案为：真命题．12． 假 【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可．【解析】命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，故答案为：假．13． ① 【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、实数的平方判断．【解析】①对顶角相等，本小题说法是真命题；②如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，本小题说法是假命题；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，本小题说法是假命题；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内或第一象限内，本小题说法是假命题；故答案为：①．14． 假 命题【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．15． ∠1＝∠2或∠3＝∠4 ．【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行可得答案．【解析】当∠1＝∠2时，根据同位角相等，两直线平行可得c∥d；当∠3＝∠4时，根据内错角相等，两直线平行可得c∥d；故答案为：∠1＝∠2或∠3＝∠4．16． （3）∠1＝∠4 ．【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解析】（1）因为∠1＝∠2，不能得出AB∥CD，错误；（2）∵∠2＝∠3，∴AD∥BC，错误；（3）∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，正确；（4）因为∠3＝∠4，不能得出AB∥CD，错误；故答案为：（3）∠1＝∠4．17． 108 °．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠DFB，根据对顶角相等即可求解．【解析】∵五角星里面是正五边形，∴∠BFD108°，∴∠AFE＝∠BFD＝108°．故答案为：108．18． ．（用θ表示）【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，然后整理得到∠A1∠A，同理可得∠A2∠A1，…从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出∠An即可．【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴∠ACD＝∠A1∠ABC，∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1∠A，∠A2∠A1∠A，…，以此类推，∠An∠A，∴∠A2020∠A．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19． 【分析】将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．【解析】（1）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；这个命题是假命题，题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等；是假命题；（2）如果几个负数相加，那么它们的和为负数，是真命题．题设：几个负数相加，结论：它们的和为负数，是真命题．20．【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．【解析】是真命题，理由是：∵∠1＝∠2（已知），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角相等）．21．【分析】先判断出DE∥BC得出∠B+∠BDE＝180°，再等量代换，即可判断出EF∥AB即可．【解析】∵∠AED＝∠C（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换），∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等）．故答案为：DE；BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EF；AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．22．【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．【解析】（1）证明：∵∠B+∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B+∠F＝180°；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．23．【分析】（1）利用同旁内角互补，说明GD∥CA；（2）由GD∥CA，得∠A＝∠GDB＝∠2＝40°＝∠ACD，由角平分线的性质可求得∠ACB的度数．【解析】（1）∵EF∥CD∴∠1+∠ECD＝180°又∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠ECD∴GD∥CA（2）由（1）得：GD∥CA，∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，∵DG平分∠CDB，∴∠2＝∠BDG＝40°，∴∠ACD＝∠2＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．24．【分析】（1）根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD（∠A+∠ABC）、∠DBC（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC＝90°∠A．【解析】（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝70°，∴∠OBC+∠OCB（180°﹣70°）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）∠BDC＝90°∠A．理由如下：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD（∠A+∠ABC）、∠DBC（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，＝180°[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，＝180°（∠A+180°），＝90°∠A；25． 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【解析】（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA∠ABC＝30°，∠EDC∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA∠ABC，∠EDC∠ADC，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°．答：∠BED的度数为180°．26．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．【解析】（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，∵∠PAB＝∠FAG，∴∠GAD＝∠PAB，∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），∴2∠P＝∠B+∠D．
第12章证明单元测试姓名：__________ 班级：__________得分：__________注意事项：本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句是命题的是（ ）A．你有橡皮擦吗 B．小华是男生 C．垃圾要分类 D．出门戴口罩2．下列命题是真命题的个数为（ ）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形的内角和是180°．③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行．④相等的角是对顶角．⑤两点之间，线段最短．A．2 B．3 C．4 D．53．下列命题是真命题的是（ ）A．如果两个角是内错角，那么它们一定相等 B．如果两个角是同位角，那么它们一定相等 C．如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补 D．如果两个角是对顶角，那么它们一定相等4．下列语句是命题的是（ ）（1）两点之间，线段最短；（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余．（4）过直线外一点作已知直线的垂线；A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）5．如图，在四边形ABCD中，连结BD，判定正确的是（ ）A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若∠3＝∠4，则AD∥BC C．若∠A+∠ABC＝180°，则AD∥BC D．若∠C＝∠A，则AB∥CD6．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE，且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（ ）A．①② B．②④ C．②③ D．②③④8．如图，下列说法中错误的是（ ）A．∠1不是三角形ABC的外角 B．∠ACD是三角形ABC的外角 C．∠ACD＞∠A+∠B D．∠B＜∠1+∠29．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC＝90°﹣∠ABD；⑤∠BDC∠BAC．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB∠CGE．其中正确的结论是（ ）A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上11．命题“如果a3＝b3，那么a＝b”是 .（填“真命题”或“假命题”）12．命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）13．下列四个命题中：①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内．其中真命题有 （填序号）．14．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．15．如图，如果希望直线c∥d，那么需要添加的条件是： ．（所有的可能）16．如图，下列条件中能得到AB∥CD的有 ．（1）∠1＝∠2 （2）∠2＝∠3 （3）∠1＝∠4 （4）∠3＝∠417．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是 °．18．如图，在△ABC中，∠A＝θ，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2019BC和∠A2019CD的平分线交于点A2020，则∠A2020＝ ．（用θ表示）三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出其条件和结论，判断其真假．（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（2）负数之和仍为负数．20．命题“如果PQ和MN分别与AB，CD相交于E，F及G，H，且∠1＝∠2，那么∠3+∠4＝180°”是真命题吗？利用图说明理由．21．完成下面的证明：已知：如图，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B．求证：∠1＝∠2．证明：∵∠AED＝∠C（已知），∴ ∥ （ ），∴∠B+∠BDE＝180°（ ），∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换），∴ ∥ （ ），∴∠1＝∠2（ ）．22．（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1＝180°，∠2＝∠3．求证：∠B+∠F＝180°．（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题．23．已知：如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．（1）试说明GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．24．如图所示，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB；BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角．（1）若∠BAC＝70°，求：∠BOC的度数；（2）探究∠BDC与∠A的数量关系．（直接写出结论，无需说明理由）25．阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝ ．∵AB∥CD，∴ ∥ ，∴∠FED＝ ．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．26．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由． 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B 【分析】根据命题的定义分别进行判断．【解析】垃圾要分类和出门戴口罩都是描叙性语言，它们都不是命题；“你有橡皮擦吗？”是疑问句，它不是命题；小华是男生是命题．2．B【分析】根据平行线的性质和判定、三角形内角和、对顶角和线段的性质判断即可．【解析】①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题．②三角形的内角和是180°，是真命题．③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．④相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题．⑤两点之间，线段最短，是真命题；3．D 【分析】根据平行线的性质和对顶角判断即可．【解析】A、两直线平行，如果两个角是内错角，那么它们一定相等，原命题是假命题；B、两直线平行，如果两个角是同位角，那么它们一定相等，原命题是假命题；C、两直线平行，如果两个角是同旁内角，那么它们一定互补，原命题是假命题；D、如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，是真命题；4．C 【分析】根据命题的概念判断即可．【解析】（1）两点之间，线段最短，是命题；（2）如果x2＞0，那么x＞0吗？不是命题；（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，是命题；（4）过直线外一点作已知直线的垂线，不是命题；5．C【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．【解析】A、根据∠1＝∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；B、根据∠3＝∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；C、根据∠A+∠ABC＝180°能推出AD∥BC，故本选项符合题意；D、根据∠C＝∠A不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意．6．C 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论．【解析】①由∠1＝∠2，可得a∥b；②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；7．D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【解析】①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．8．C【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【解析】A、∠1不是三角形ABC的外角，正确；B、∠ACD是三角形ABC的外角，正确；C、∠ACD＝∠A+∠B，错误；D、∠B＜∠1+∠2，正确；9．D 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解析】∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正确；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②正确；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°∠ABC，∴∠ADB不等于∠CDB，∴③错误；∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）＝180°（∠EAC+∠ACF）＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）＝180°（180°+∠ABC）＝90°∠ABC，∴④正确；∠BDC＝∠DCF﹣∠DBF∠ACF∠ABC∠BAC，∴⑤正确，10．B 【分析】①正确．利用平行线的性质证明即可．②正确．首先证明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．③错误．假设结论成立，推出不符合题意即可．④正确．证明∠DFB＝45°即可解决问题．【解析】∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCA，∵CD平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠DCB，∴∠CEG＝2∠DCB，故①正确，∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠BCA+∠ABC＝90°，∵∠CEG＝∠ACB，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，∴∠ADC＝∠GCD，故②正确，假设AC平分∠BCG，则∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，∴∠ECG＝∠CEG＝45°，显然不符合题意，故③错误，∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC（∠ACB+∠ABC）＝45°，∠CGE＝45°，∴∠DFB∠CGE，故④正确，二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上11． 真命题 . 【分析】根据实数的性质继续判断即可．【解析】“如果a3＝b3，那么a＝b”是真命题；故答案为：真命题．12． 假 【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，判断真假即可．【解析】命题“如a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，故答案为：假．13． ① 【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、实数的平方判断．【解析】①对顶角相等，本小题说法是真命题；②如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，本小题说法是假命题；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，本小题说法是假命题；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内或第一象限内，本小题说法是假命题；故答案为：①．14． 假 命题【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．15． ∠1＝∠2或∠3＝∠4 ．【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行可得答案．【解析】当∠1＝∠2时，根据同位角相等，两直线平行可得c∥d；当∠3＝∠4时，根据内错角相等，两直线平行可得c∥d；故答案为：∠1＝∠2或∠3＝∠4．16． （3）∠1＝∠4 ．【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解析】（1）因为∠1＝∠2，不能得出AB∥CD，错误；（2）∵∠2＝∠3，∴AD∥BC，错误；（3）∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，正确；（4）因为∠3＝∠4，不能得出AB∥CD，错误；故答案为：（3）∠1＝∠4．17． 108 °．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠DFB，根据对顶角相等即可求解．【解析】∵五角星里面是正五边形，∴∠BFD108°，∴∠AFE＝∠BFD＝108°．故答案为：108．18． ．（用θ表示）【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，然后整理得到∠A1∠A，同理可得∠A2∠A1，…从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出∠An即可．【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∴∠ACD＝∠A1∠ABC，∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1∠A，∠A2∠A1∠A，…，以此类推，∠An∠A，∴∠A2020∠A．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19． 【分析】将命题写成“如果…，那么…”的形式，就是要明确命题的题设和结论，“如果”后面写题设，“那么”后面写结论．【解析】（1）如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；这个命题是假命题，题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等；是假命题；（2）如果几个负数相加，那么它们的和为负数，是真命题．题设：几个负数相加，结论：它们的和为负数，是真命题．20．【分析】根据平行线的判定和性质解答即可．【解析】是真命题，理由是：∵∠1＝∠2（已知），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角相等）．21．【分析】先判断出DE∥BC得出∠B+∠BDE＝180°，再等量代换，即可判断出EF∥AB即可．【解析】∵∠AED＝∠C（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠B+∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠DEF＝∠B（已知），∴∠DEF+∠BDE＝180°（等量代换），∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行），∴∠1＝∠2 （两直线平行，内错角相等）．故答案为：DE；BC；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EF；AB；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．22．【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．【解析】（1）证明：∵∠B+∠1＝180°，∴AB∥CD，∵∠2＝∠3，∴CD∥EF，∴AB∥EF，∴∠B+∠F＝180°；（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．23．【分析】（1）利用同旁内角互补，说明GD∥CA；（2）由GD∥CA，得∠A＝∠GDB＝∠2＝40°＝∠ACD，由角平分线的性质可求得∠ACB的度数．【解析】（1）∵EF∥CD∴∠1+∠ECD＝180°又∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠ECD∴GD∥CA（2）由（1）得：GD∥CA，∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，∵DG平分∠CDB，∴∠2＝∠BDG＝40°，∴∠ACD＝∠2＝40°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．24．【分析】（1）根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数；（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD（∠A+∠ABC）、∠DBC（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BDC＝90°∠A．【解析】（1）∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝70°，∴∠OBC+∠OCB（180°﹣70°）＝55°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°；（2）∠BDC＝90°∠A．理由如下：∵BD、CD为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠BCD（∠A+∠ABC）、∠DBC（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC，＝180°[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，＝180°（∠A+180°），＝90°∠A；25． 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数；②如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC＝α，∠ADC＝β，参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数．【解析】（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA∠ABC＝30°，∠EDC∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA∠ABC，∠EDC∠ADC，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°．答：∠BED的度数为180°．26．【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．【解析】（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°；（3）2∠P＝∠B+∠D．理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，∵∠PAB＝∠FAG，∴∠GAD＝∠PAB，∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），∴2∠P＝∠B+∠D．
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