河北省石家庄市赵县七县联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若直线与垂直，则实数（ ）
A. B. C. D.
2. 设函数在处存在导数为，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知在正项等比数列中，，，则（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
4. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（ ）

A B. 2C. 3D. 6
5. 如图，在四面体中，点E，F分别是，中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A. 20B. 24C. 36D. 40
7. 如图所示，椭圆的左焦点为F，A、B两点在椭圆上，且四边形为菱形，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（ ）

A. 1B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列选项正确的是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
10. 下列四个命题中为假命题的是（ ）
A. 已知是平面的法向量，是直线l的方向向量，若，则
B. 已知向量，则与的夹角为钝角
C. 已知是空间中的三个单位向量，若两两共面，则共面
D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
11. 如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知数列中，，，，则（ ）
A.
B.
C.
D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在等差数列中，，，则__________．
14. 曲线在点处的切线方程为___________.
15. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如果在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则将军所经过的最短路程为___________．
16. 已知A，B是椭圆与双曲线的公共左、右顶点，P是双曲线在第一象限上的一点，直线交椭圆于M，N两点．若直线过椭圆的右焦点F，则的面积为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 正项数列满足，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列前n项和．
18. 已知，四棱锥，底面是正方形，M为棱的中点，平面平面．
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19. 已知等差数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20. 如图，在正四棱柱中，分别为的中点，点M在线段上，，且A，E，M，F四点共面．

（1）求t的值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线l交抛物线于A，B两点，且．
（1）求抛物线E的方程；
（2）设过点且互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点M，N，证明：直线过定点．
22. 已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E．

（1）求点E的轨迹方程；
（2）过点，且与x轴不重合的直线l与E的轨迹交于A，B两点，求的内切圆面积的最大值．