初中数学北师大版七年级上册2.3 绝对值课后练习题

这是一份初中数学北师大版七年级上册2.3 绝对值课后练习题，共91页。
题型一 两个绝对值的和的最值
题型二 两个绝对值的差的最值
题型三 多个绝对值的和的最值
题型四 绝对值中最值问题的应用
题型五 已知范围的绝对值化简
题型六 未知范围的绝对值化简
题型七 绝对值化简问题综合
题型训练：
绝对值中的10道最值问题训练
绝对值中的10道化简问题训练
绝对值最值问题概述：
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果.
绝对值化简问题概述：
绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题.
【经典例题一 两个绝对值的和的最值】
【知识归纳】
目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
结论：式子在时，取得最小值为.
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
(3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A，B两点间的距离记为d，试写出d和a，b（）的数量关系___________；
(3)写出数轴上到和1的距离之和为2的所有整数___________；
(4)若x表示一个有理数，则的最小值为___________．
【变式2】（2022秋·江西萍乡·七年级统考阶段练习）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．
(1)如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ；
【类比探究】
(2)若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为 ；
【拓展应用】
(3)若数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24，则 ；
(4)若数轴上表示的点位于表示与2的两点之间，求的值；
(5)利用数轴分析，若是整数，且满足，则满足条件的所有的值的和为 ．
【变式3】（2022秋·江苏南京·七年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝ ；
(2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为 ；
(3)请说出|x﹣3|+|x+1|＝7所表示的几何意义，并求出x的值．
【经典例题二 两个绝对值的差的最值】
【知识归纳】
目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值.
【例2】（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．
提出问题：
有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？
探究问题：
探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．
当b＝2时，，如图1所示；
当b＝－3时，，如图2所示；
由此可以推断当b＝n时，______．
探究二：
如果A，B两点都不在原点，即，．
（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：
；
（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；
（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．
解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）
实际应用：
（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；
（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．
拓展延伸：
结合数轴回答下列问题：
（1）的最小值是______；
（2）的最大值是______．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
④当时，原式；
⑤当时，原式．
综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式；
(2)的最大值是 ．（请直接写出结果）
【变式2】（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
a.；b.；c.．
从而化同代数式可分以下3种情况：
①当对，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上讨论，原式，
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)化简代数式．
(2)求的最大值．
【变式3】（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．
(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：
(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；
(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；
(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？
【经典例题三 多个绝对值的和的最值】
【知识归纳】
最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；
③当有（奇数）个绝对值相加：
，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，则取中间段，
即当时，取得最小值为.
【例3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；
(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为．
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示4与-3的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上有理数x与有理数6所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ；
(3)代数式|x+5|可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离；若=3， 则x= ；
(4)求代数式+|x+504|+的最小值．并直接写出这时x的值为 ．
【变式2】（2022秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
(1)求= ；
(2)若，则x= ；
(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到4和-2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，这样的整数是 ．
(4)求：的最小值，并求出此时x的值．
【变式3】（2022秋·江苏无锡·七年级校考阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ；数轴上表示1和﹣4的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为 ．若|x+3|＝4，则x＝ ．
(3)若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+4|的最小值＝ ．
(4)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|＝4，则满足条件的所有整数x的值为 ，则满足条件的所有整数x的和为 ．
(5)若x表示一个有理数，当x为 ，式子|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值为 ．
【经典例题四 绝对值中最值问题的应用】
【例4】（2022秋·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）【数学实验室】
点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示4和8两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示和7的两点之间的距离表示为 ．
(3)若表示一个有理数，则 的最小值 ．
(4)已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．
若当电子蚂蚁从点出发时，以3个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位每秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距40个单位长度？
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·七年级校考周测）一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是__________；表示﹣3和2两点之间的距离是__________；
(2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝__________．
(3)若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则的值为__________；
(4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得＝7，这些点表示的数的和是__________．
【变式2】（2022秋·四川眉山·七年级校考阶段练习）我们知道x的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；
即数轴上数x1，x2对应两点之间的距离为|x1﹣x2|
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；
例2：解方程|x﹣1|＝2．容易得出，在数轴上与1距离为2的点对应的数为3和一1，即该方程的x＝3或x＝﹣1；
例3：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|>2的解为x3；
例4：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在I的右边，如图可以看出x=2：同理，若x对应点在﹣2的左边可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)数轴上表示﹣2与5两点之间的距离为 ；
(2)方程|x﹣3|＝4的解为 ；|x+4|＝7的解为 ；
(3)不等式|x﹣3|＞4的解集为 ；
(4)方程|x﹣3|+|x+4|＝9的解为 ；
(5)不等式|x﹣3|+|x+4|≥9的解集为 ．
【变式3】（2022秋·全国·七年级专题练习）唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚．”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知P、Q在数轴上分别表示有理数p、q，P、Q两点的距离表示为．
阅读上述材料，回答下列问题：
（1）若数轴上表示x与3的两点之间的距离是4，则___________．
（2）当x的取值范围是多少时，代数式有最小值，最小值是多少？
（3）若未知数x，y满足，求代数式的最大值，最小值分别是多少？
【经典例题五 已知范围的绝对值化简】
【知识归纳】
已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0.
两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；
负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.
②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.
④化简.
【例5】（2022·浙江·九年级自主招生）若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（ ）
A．B．0C．2D．4
【变式训练】
【变式1】（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知数a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式：
①；②；③；④，其中正确个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2020秋·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．
给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中，正确的是__________．（填序号）
【变式3】（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．
(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．
(2)化简：．
【经典例题六 未知范围的绝对值化简】
【知识归纳】
绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即.
【例6】（2022秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，，都是非零有理数，满足，令，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·七年级期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①若，则a≥0；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；
③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；
④若代数式2x+|9﹣3x|+|1﹣x|+2011的值与x无关，则该代数式值为2021；
⑤a+b+c＝0，abc＜0，则的值为±1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则____________．
【变式3】（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【经典例题七 绝对值化简问题综合】
【例7】（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）
①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或；
②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3；
③已知时，那么的最大值为7，最小值为；
④若且，则式子的值为；
⑤如果定义，当，，时，的值为．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·七年级课时练习）若满足方程，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）学习了数轴与绝对值知识后，我们知道：数轴上表示数m与数n的两点之间的距离为，则：
①表示的实际意义是 _____．
②的最小值是 _____．
③的最小值是 _____．
【变式3】（2022秋·重庆·七年级重庆市实验中学校考阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题．我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含绝对值的代数式．例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称-1，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：，，．从而在化简时，可分以下三种情况：①当时，原式；②当时，原式；③当时，原式．通过以上阅读，请你解决问题：
(1)的零点值是__________．
(2)化简代数式；
(3)解方程．
【培优检测】
绝对值中的10道最值问题训练
1．（2022秋·江苏·七年级专题练习）同学们都知道，│4－（－2）│表示4与－2的差的绝对值，实际上也可理解为4与－2
两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理│x－3│也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(l)在数轴上表示x和－1两点之间的距离表示为 ．如果它们的距离为3，那么x=
(2)找出所有符合条件的整数x，使│x－4│+│x+2│=6成立．
(3)由以上探索猜想，对于任何有理数为x，│x－3│+│x－6│是否有最小值？如果有，写出 最小值；如果没有，说明理由．
2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③
3．（2022秋·全国·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之间的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
4．（2022秋·浙江·七年级期末）【阅读材料】数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
【解决问题】
（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
【拓展探究】
（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
5.（2022秋·全国·七年级期中）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是__________．
（2）数轴上点用数表示，若，那么的值为_________．
（3）数轴上点用数表示：
①若，那么的值是________．
②当时，数的取值范围是________，这样的整数有________个．
③有最小值，最小值是___________．
6．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|＝，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别叫做|x+1|与|x﹣2|的零点值．）在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；
（2）当﹣1≤x≤2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；
（3）当x＞2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．
综上所述，原式＝．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x+2|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x+2|+|x﹣4|；
（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整数解；
（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．
7．（2022秋·全国·七年级专题练习）综合与探究
阅读材料：
数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|=2；
在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|=7；
在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|=5；
在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|=3；……
如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|=|a﹣b|=|b﹣a|．
解决问题：
(1)数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于 ；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为 ；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于 ；
联系拓广：
(2)如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．①若点P在点M，N两点之间，则|PM|+|PN|= ；
②若|PM|=2|PN|，即点P到点M的距离等于点P到点N的距离的2倍，则x等于 ．
B．①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|= ；
若|x+2|+|x﹣4|═10，则x= ；
②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于 ．
8．（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的
点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ；
（3）若，求的取值范围．
9．（2023·四川自贡·校考一模）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(2)如果，那么x＝ ；
(3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x= ．
(5)已知，求 的最大值和最小值．
10．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）阅读理解“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“”可理解为___________________________________________________；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为_______________．
我们定义：形如“”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是_________________．
②不等式的解集是_______________．
绝对值中的10道化简问题训练
1．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（ ）
A．﹣1B．0C．±1D．1
2．（2021秋·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）已知、为非零有理数，下列说法：
①若、互为相反数，则；
②若，，则；
③若，则是正数．
其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
3．（2022·全国·七年级专题练习）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（ ）
①；②；③；④．
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（2019秋·湖北·七年级校考阶段练习）对于有理数m、n，若，，且，那么下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·湖北随州·七年级统考期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简为_________．
6．（2023春·黑龙江绥化·六年级绥化市第八中学校校考期中）已知、、均为不等式0的有理数，则的值为______．
7．（2022秋·全国·七年级期末）已知，，都是不等于0的有理数，且的最大值是，最小值是，则______．
8．（2020秋·江西宜春·七年级宜春市第三中学校考期中）若，，则______．
9．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d．
（1）若c与d互为相反数，则a________；
（2）若d2b8，那么点C对应的数是________；
（3）若abcd0，ab0求的取值范围．
10．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若，均不为零，求的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母，的正负作出讨论，又注意到，在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
解：①当两个字母，中有2个正，0个负时，
②当两个字母，中有1个正，1个负时，
③当两个字母，中有0个正，2个负时．
（1）根据小明的分析，求的值．
（2）若均不为零，且，求代数式的值．
专题04 绝对值中的最值与化简压轴问题专训
【题型目录】
题型一 两个绝对值的和的最值
题型二 两个绝对值的差的最值
题型三 多个绝对值的和的最值
题型四 绝对值中最值问题的应用
题型五 已知范围的绝对值化简
题型六 未知范围的绝对值化简
题型七 绝对值化简问题综合
题型训练：
绝对值中的10道最值问题训练
绝对值中的10道化简问题训练
绝对值最值问题概述：
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果.
绝对值化简问题概述：
绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型.希望通过本专题让大家熟练掌握这两类压轴题.
【经典例题一 两个绝对值的和的最值】
【知识归纳】
目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
结论：式子在时，取得最小值为.
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：
(1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
(3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)4，
(2)或
(3)有最小值，6
【分析】（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解；
（3）根据绝对值的几何意义，即可得解．
【详解】（1）解：，
故答案为：4，．
（2）解：∵
∴或，
故答案为：或．
（3）在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到﹣2及到4的距离之和，所以当时，它的最小值为6．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东珠海·七年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．
(1)对照数轴填写下表：
(2)若A，B两点间的距离记为d，试写出d和a，b（）的数量关系___________；
(3)写出数轴上到和1的距离之和为2的所有整数___________；
(4)若x表示一个有理数，则的最小值为___________．
【答案】(1)6，2，12
(2)
(3)，0，1
(4)4
【分析】（1）由即可求解；
（2）由，又知，化简可得；
（3）设数轴上一点为x，由与1的距离为2，可确定，求出符合条件的整数x即可；
（4）由1与的距离为4，即可求的最小值为4．
（1）
解：，则，
，则，
，则，
故答案为：6，2，12；
（2）
解：∵，
∴；
故答案为：；
（3）
解：设数轴上一点为x，
∵数轴上点x到和1的距离之和为2，
∴，
∵与1的距离为2，
∴，
∵x是整数，
∴x=，0，1，
∴数轴上到和1的距离之和为2的整数有，0，1；
故答案为：，0，1；
（4）
解：表示数轴上点x到1和的距离和最小，
∵1与的距离为4，
∴的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查绝对值与数轴，理解绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离的求法是解题的关键．
【变式2】（2022秋·江西萍乡·七年级统考阶段练习）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，利用此规律，我们可以求数轴上两个点之间的距离，具体方法是：用右边的数减去左边的数的差就是表示这两个数的两点之间的距离．
(1)如图，数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和4的两点之间的距离是 ；数轴上表示和2的两点之间的距离是 ；
【类比探究】
(2)若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为 ；
【拓展应用】
(3)若数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24，则 ；
(4)若数轴上表示的点位于表示与2的两点之间，求的值；
(5)利用数轴分析，若是整数，且满足，则满足条件的所有的值的和为 ．
【答案】(1)5；3；5
(2)
(3)22或
(4)6
(5)
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离：数轴上任意不同的两点，这两点间的距离=右边的数-左边的数，即可得到结果；
（2）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可；
（4）利用题干中数轴上两点之间的距离的意义和绝对值的意义化简运算即可；
（5）利用分类讨论的思想方法和题干中数轴上两点之间的距离的意义解答即可．
（1）
数轴上表示2和7的两点之间的距离是5；数轴上表示1和4的两点之间的距离是3；数轴上表示和2的两点之间的距离是5；
（2）
若点表示的数是，点表示的数是，则点、之间的距离为；
（3）
∵数轴上分别表示和的两点和之间的距离是24，
∴，
∴或，
∴或；
（4）
数轴上表示的点位于表示与2的两点之间，
∴，
∴，，
∴
；
（5）
数轴上表示和2的两点之间的距离是5，
∴满足的值在数轴上表示的点位于表示与2的两点之间，
∵是整数，
∴-3，，，0，1，2．
∴满足条件的所有的值的和为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间距离和绝对值问题，理解两点间距离并正确化简绝对值是解题关键．
【变式3】（2022秋·江苏南京·七年级南京师范大学附属中学江宁分校校考阶段练习）阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
(1)若|x﹣3|＝|x+1|，则x＝ ；
(2)式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为 ；
(3)请说出|x﹣3|+|x+1|＝7所表示的几何意义，并求出x的值．
【答案】(1)1
(2)4
(3)几何意义：在数轴上与3和﹣1的距离和为7的点对应的x的值，﹣2.5或4.5
【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x﹣3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离，若|x﹣3|＝|x+1|，则此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可；
（2）求|x﹣3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x﹣3及x+1的符号不能确定，故应分情况讨论．
（1）
根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，
∴原式可化为3﹣x＝x+1，
∴x＝1；
故答案为：1．
（2）
根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．
∴|x﹣3|＝3﹣x，|x+1|＝x+1，
∴|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4；
故答案为：4．
（3）
几何意义：在数轴上与3和﹣1所表示的点的距离和为7的点对应的x的值．
在数轴上3和﹣1的距离为4，则满足方程的x的对应点在﹣1的左边或3的右边．
若x的对应点在﹣1的左边，则x＝﹣2.5；
若x的对应点在3的右边，则x＝4.5．
所以原方程的解是x＝﹣2.5或x＝4.5．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，解答此类问题时要用分情况讨论的思想．
【经典例题二 两个绝对值的差的最值】
【知识归纳】
目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值.
【例2】（2022秋·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．
提出问题：
有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？
探究问题：
探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．
当b＝2时，，如图1所示；
当b＝－3时，，如图2所示；
由此可以推断当b＝n时，______．
探究二：
如果A，B两点都不在原点，即，．
（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：
；
（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；
（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．
解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）
实际应用：
（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；
（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．
拓展延伸：
结合数轴回答下列问题：
（1）的最小值是______；
（2）的最大值是______．
【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9
【分析】探究一：根据绝对值的概念可得；
探究二（2）根据绝对值的概念计算即可；
（3）根据绝对值的概念计算即可；
解决问题：根据绝对值的概念计算即可；
实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可；
（2）根据绝对值的概念列方程解答即可；
拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可；
（2）根据绝对值的概念计算即可．
【详解】探究一：当b＝n时，，
故答案为：n；
探究二：（2），
故答案为：；
（3），
故答案为：；
解决问题：，
故答案为：；
实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是，
故答案为：5；
（2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，
∴，
∴或，
得或，
故答案为：7或；
拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4，
∴的最小值是4，
故答案为：4；
（2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9，
∴的最大值是9，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
④当时，原式；
⑤当时，原式．
综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式；
(2)的最大值是 ．（请直接写出结果）
【答案】(1)原式
(2)
【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可；
（2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果；
【详解】（1）当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
综上所述：原式；
（2）当时，原式的最大值；
当时，原式的最大值；
∴的最大值为．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式2】（2022秋·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，
如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
a.；b.；c.．
从而化同代数式可分以下3种情况：
①当对，原式；
②当时，原式；
③当时，原式．
综上讨论，原式，
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)化简代数式．
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)2．
【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可；
（2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．
【详解】（1）分以下3种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上讨论，原式 ；
（2）当时，原式，
当时，原式，，
当时，原式，
则的最大值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．
【变式3】（2022秋·贵州遵义·七年级校考阶段练习）已知在数轴上点，分别表示有理数，．
(1)仔细阅读表格并对照数轴填空：
(2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）；
(3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值；
(4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？
【答案】(1)填表见解析；
(2)；
(3)当，的值总是一个固定值，为；
(4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3．
【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案；
（3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论；
（4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解．
【详解】（1）解：填表如下：
（2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；；
（3）解：根据的几何意义是，到的距离之和，
如果值总是一个固定值，则，
这个固定值为：；
（4）解：当时，，
当时，，
当时，，
故的最大值为；
根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短，
即当时
得到的值最小为3．
【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值．
【经典例题三 多个绝对值的和的最值】
【知识归纳】
最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；
③当有（奇数）个绝对值相加：
，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，则取中间段，
即当时，取得最小值为.
【例3】（2022秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；
(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)3，5，1或
(2)6
(3)当时，式子的值最小，最小值是9，理由见解析
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）先确定a+4、a-2的正负，然后再化简绝对值，最后再合并同类项即可；
（3）根据表示一点到-5，1，4三点的距离的和．即可求解．
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；
表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；
依题意有|a-（-2）|=3，
∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3
解得a=1或-5．
故答案为：3，5，1或-5．
（2）解：∵数a的点位于-4与2之间，
∴a+4＞0，a-2＜0
∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．
（3）解：∵表示一点到-5，1，4三点的距离的和．
∴当a=1时，式子的值最小，
∴的最小值是9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A、B两点之间的距离可以表示为．
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
(1)数轴上表示4与-3的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上有理数x与有理数6所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ；
(3)代数式|x+5|可以表示数轴上有理数x与有理数 所对应的两点之间的距离；若=3， 则x= ；
(4)求代数式+|x+504|+的最小值．并直接写出这时x的值为 ．
【答案】(1)7
(2)
(3)-5；-8或-2；
(4)-504
【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代值计算即可；
（2）根据题目所给两点距离公式列式即可；
（3）由绝对值的定义求解即可；
（4）设点A、B、C分别表示-1008，-504，1007，点D表示的数为x，则，画出数轴图，分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得数轴上表示4与-3的两点之间的距离是，
故答案为：7；
（2）解：数轴上有理数x与有理数6所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴表示数轴上有理数x与有理数-5所对应的两点之间的距离，
∵，
∴数轴上有理数x与有理数-5所对应的两点之间的距离为3，
∴x表示的数为-5-3=-8或-5+3=-2；
故答案为：-5；-8或-2；
（4）解：设点A、B、C分别表示-1008，-504，1007，点D表示的数为x，
∴
如图1所示，当点D在A点左侧时，
；
如图2所示，当点在AB之间时（包括A，不包括B），
如图3所示，当点D在BC之间时（包括B包括C）
（点BD重合时，）
如图4所示，当点D在C点右侧时，
，
综上所述，当点D与点B重合时，有最小值即AC，
∴，
故答案为：-504；
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，数轴数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义是解题的关键；
【变式2】（2022秋·重庆綦江·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：
(1)求= ；
(2)若，则x= ；
(3)同理表示数轴上有理数x所对应的点到4和-2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，这样的整数是 ．
(4)求：的最小值，并求出此时x的值．
【答案】(1)6
(2)﹣3或7．
(3)﹣2、﹣1、0、1、2、3、4
(4)x=-1时，有最小值是8
【分析】（1）根据4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，可得|4-（-2）|=6；
（2）根据|x-2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得x=-3或7；
（3）因为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，所以使得|x-4|+|x+2|=6成立的整数是-2和4之间的所有整数（包括-2和4），据此求解即可；
（4）分-5