备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第4讲余弦定理正弦定理射影定理的应用

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A.23B.43C.12D.16
解析 解法一（射影定理法） 由ca＝1+csC2－csA得2c＝a＋acsC＋ccsA，则由射影定理可得a＋b＝2c.
因为c＝4，所以a＋b＝2c＝8，又C＝π3，所以由余弦定理得cs C＝a2＋b2－c22ab＝（a＋b）2－2ab－162ab＝48－2ab2ab＝12，得ab＝16.
所以△ABC的面积为12absin C＝12absin π3＝34ab＝43.故选B.
解法二 由正弦定理及ca＝1+csC2－csA，得sinCsinA＝1+csC2－csA，
所以sin A＋sin AcsC＝2sin C－cs Asin C，
所以sin A＋sin AcsC＋cs Asin C＝2sin C，
即sin A＋sin（A＋C）＝2sin C，
所以sin A＋sin B＝2sin C，由正弦定理得a＋b＝2c.
后同解法一.
方法技巧
射影定理：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则a＝bcsC＋ccsB，b＝acsC＋ccsA，c＝acsB＋bcsA.
训练4 [2023济南历城二中5月模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcs C＋3ccs B＝5asin A，且A为锐角，则当a2bc取最小值时，a2b＋c的值为 1015 .
解析 由3bcs C＋3ccs B＝5asin A及射影定理得3a＝5asin A，可得sin A＝35，又A是锐角，所以cs A＝45，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－85bc，则a2bc＝b2＋c2－85bcbc＝b2＋c2bc－85≥2bcbc－85＝25，当且仅当b＝c时，a2bc取得最小值25，
此时a2＝25b2，即a＝105b，所以a2b＋c＝1015.