备考2024届高考数学一轮复习强化训练第六章平面向量复数第4讲余弦定理正弦定理

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A.π6B.π3C.2π3D.5π6
解析 ∵bsinA＋B2＝csinB，∴sin BcsC2＝sin CsinB，又sin B＞0，∴csC2＝sin C＝2sinC2csC2.∵C2∈（0，π2），∴csC2＞0，∴sinC2＝12，∴C2＝π6，C＝π3.故选B.
2.[命题点1/浙江高考]在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝ 213 ，cs∠MAC＝ 23913 .
解析 由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.
解法一 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠B＝4＋64－2×2×8×12＝52，所以AC＝213.在△AMC中，由余弦定理得cs∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52+12－162×213×23＝23913.
解法二 过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝43，所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝213.以下同解法一.
3.[命题点1/2024杭州市质检]已知四边形ABCD是一个圆的内接四边形，如图，若AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
（1）求线段BD的长；
（2）若∠BPD＝π3，求PB＋PD的取值范围.
解析 （1）由题意知，A＋C＝π，（圆的内接四边形的一个性质是对角互补）
所以cs A＝cs（π－C）＝－cs C.
根据余弦定理BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs A，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcs C，得BD2＝5－4cs A，BD2＝13－12cs C.
所以5－4cs A＝13－12cs C，所以cs C＝12.
所以BD＝7.
（2）解法一 因为BD2＝PB2＋PD2－2PB·PDcs∠BPD＝PB2＋PD2－PB·PD
＝（PB＋PD）2－3PB·PD
≥（PB＋PD）2－3·（PB＋PD）24（提示：此处用到了PB·PD≤（PB＋PD2）2）
＝（PB＋PD）24，
所以（PB＋PD）2≤28，所以PB＋PD≤27（当且仅当PB＝PD时取等号）.
所以7＜PB＋PD≤27.（注意：三角形中两边之和大于第三边）
解法二 由题意知∠BPD＝π3，设∠PBD＝θ，则∠PDB＝2π3－θ.
由正弦定理PBsin∠PDB＝PDsin∠PBD＝BDsin∠BPD，
可得PBsin（2π3－θ）＝PDsinθ＝BDsinπ3＝273＝2213.所以PB＝2213sin（2π3－θ），PD＝2213sin θ，（利用正弦定理化边为角）
所以PB＋PD＝2213[sin θ＋sin（2π3－θ）]＝27sin（θ＋π6）.（三角恒等变换主要是和角、差角公式及辅助角公式的应用）
因为0＜θ＜2π3，所以π6＜θ＋π6＜5π6，
所以27sin（θ＋π6）∈（7，27].（三角函数有界性的应用）
所以7＜PB＋PD≤27.
4.[命题点2/全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2（π2＋A）＋cs A＝54.
（1）求A；
（2）若b－c＝33a，证明：△ABC是直角三角形.
解析 （1）由已知得sin2A＋cs A＝54，
即cs2A－cs A＋14＝0.
所以（cs A－12）2＝0，cs A＝12.
由于0＜A＜π，故A＝π3.
（2）由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝33sin A.
由（1）知B＋C＝2π3，所以sin B－sin（2π3－B）＝33sinπ3.
即12sin B－32cs B＝12，sin（B－π3）＝12.
由0＜B＜2π3，得B＝π2，则△ABC是直角三角形.
5.[命题点3/2024长春市质量监测（一）]在△ABC中，AD为BC边上的中线，BD＝3，AD＝7，tan∠BAD＝32.
（1）求△ABC的面积；
（2）若AE＝107AD，求∠BEC.
解析 （1）由tan∠BAD＝32，可得sin∠BAD＝217，
在△ABD中，由BD＝3，AD＝7，结合正弦定理BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，得3217＝7sin∠ABD，
解得sin∠ABD＝1，所以∠ABD＝90°，
从而AB＝AD2－BD2＝7－3＝2.
在△ABC中，AB＝2，BC＝2BD＝23，∠ABC＝90°，
所以△ABC的面积S＝12×2×23＝23.
（2）以B为坐标原点，BC，BA的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），C（23，0），D（3，0），所以AD＝（3，－2）.
由AE＝107AD得AE＝（1037，－207），
所以E（1037，－67），
从而EB＝（－1037，67），EC＝（437，67），
所以cs＜EB，EC＞＝EB·EC｜EB||EC｜＝－1037×437＋67×67（－1037）2＋（67）2（437）2＋（67）2＝－844933649×8449＝－12，所以∠BEC＝120°.