数学选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第1课时学案设计

这是一份数学选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用第1课时学案设计，共6页。
教 材 要 点
要点一 点到直线的距离
直线l的方向向量为v，点P为直线l外一点，A为直线l上任意一点，则点P到直线l的距离d＝.
批注❶ 是在l上的投影向量．
要点二 点到平面的距离
设平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点A是平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d＝❷||·|cs 〈·n〉|＝________．
批注❷ 等于在向量方向上射影的绝对值．
基 础 自 测
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离．( )
(2)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离．( )
(3)平面α外一点P到平面α的距离在平面α内任一点与点P的距离中最短．( )
2．(多选)已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，z)到α的距离为，则z＝( )
A.－16 B．－4
C．4 D．16
3．已知平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为( )
A． B．C． D．1
题型探究·课堂解透——强化创新性
点到直线的距离
例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
方法归纳
向量法求点到直线距离的一般步骤
巩固训练1 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
点到平面的距离
例2 在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离．
方法归纳
用向量法求点面距的一般步骤
巩固训练2 如图，在棱长是2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CD的中点，求点B1到平面AD1E的距离．
第1课时 点到直线的距离与点到平面的距离
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点二
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．解析：因为n＝(－2，－2，1)，＝(－1，－2，z)，且d＝＝＝＝，所以z＝4或－16.
答案：AC
3．解析：∵A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，
∴＝(－1，－1，2)，又平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，
∴点A到平面α的距离为＝.
答案：B
题型探究·课堂解透
例1 解析：因为AB＝1，BC＝2，AA′＝3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，0)，B(1，0，0)，
所以直线A′C的方向向量＝(1，2, －3)．
又＝(0，2，0)，
所以在上的投影长为＝.
所以点B到直线A′C的距离d＝＝＝.
巩固训练1
解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，
所以直线A1C1的方向向量
＝＝(0，3，1)，
所以点B到直线A1C1的距离
d＝＝＝.
例2 解析：取AC的中点O，连接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥平面ABC.
又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO.
又∵△ABC为正三角形，O为AC的中点，∴AO⊥BO.
如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O ­xyz，
则B(0，2，0)，C(－2，0，0)，S(0，0，2)，M(1，，0)，N(0，)．
∴＝(3，，0)，＝(－1，0，)，＝(－1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则取z＝1，
则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
∴点B到平面CMN的距离d＝＝.
巩固训练2
解析：因为正方体ABCD ­A1B1C1D1棱长为2，
故以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，E(0，1，0)，B1(2，2，2)．
设平面AD1E的法向量是m＝(x，y，z) ，则，m⊥，
即，
又＝(0，0，2)－(2，0，0)＝(－2，0，2)，＝(0，1，0)－(2，0，0)＝(－2，1，0)，
所以，令x＝1，则y＝2，z＝1，
所以m＝(1，2，1)，又＝(2，1，2)，
所以点B1到平面AD1E的距离d＝＝＝.