高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线与圆的位置关系导学案，共10页。
[教材要点]
要点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
状元随笔 “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点．( )
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．( )
(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．( )
(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．( )
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A．1 B．
C． D．2
4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
题型一 直线与圆位置关系的判断
例1 已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时：
(1)直线与圆有两个交点；
(2)直线与圆有一个交点；
(3)直线与圆没有交点．
方法归纳
判断直线与圆位置关系的三种方法
1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 (1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.
若直线与圆相切，则m＝________；
若直线与圆相离，则m的范围是________．
题型二 直线与圆相切问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
方法归纳
圆的切线的求法
1．点在圆上时：
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
2．点在圆外时：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
跟踪训练2 (1)过点A(2，1)，作圆的(x－3)2＋(y－1)2＝1切线，则切线方程为________．
(2)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝________．
题型三 弦长问题
例3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
变式探究 若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
方法归纳
求弦长常用的三种方法
1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题．
2．利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
3．利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.
跟踪训练3 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
(2)已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．
题型四 直线与圆的方程的实际问题
例4 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
建系→求圆O与直线BC的方程→利用直线与圆的位置关系求解．
方法归纳
求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意．
2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程．
3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．
4．把代数结果还原为实际问题的解释．
跟踪训练4 (1)台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m．
易错辨析 忽略了圆的一个隐含条件
例5 已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，
一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．
解析：圆的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝，圆心C坐标为(－，－1)，半径r＝＝，则4－3a2>0，解得－0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，
故a的取值范围是(－)．
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心 D．相离
2．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
3．圆O：x2＋y2＝4上到直线x＝1的距离为1的点有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．0个
4．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，求过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
2．3 直线与圆的位置关系
新知初探·课前预习
要点
2 1 0 < ＝ > > ＝