高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式第一课时导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式第一课时导学案，共7页。

要点一 两点间的距离公式
(1)数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别为xA，xB，则|AB|＝________．
(2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式|AB|＝.
状元随笔 (1)平面直角坐标系内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．特别地，当P1P2垂直于坐标轴时，有
|P1P2|＝＝|x2－x1|(P1P2⊥y轴)；
|P1P2|＝＝|y2－y1|(P1P2⊥x轴)．
原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝.
(2)两点间的距离公式的特征：两点间距离的平方等于两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和．公式可简记为“纵差方，横差方，加起来，开平方”．
要点二 坐标的方法
坐标的方法又称解析法，根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，即用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面图形的几何性质．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)原点O到点P(x，y)的距离为|OP|＝.( )
(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．( )
(3)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．( )
2．已知点A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B．
C．3 D．
3．已知两点A(a，－)和B(b，)，则|AB|等于( )
A．a＋bB．|a－b|
C．－a－b D．|a＋b|
4．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
题型一 求两点间的距离
例1 (1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为________．
(2)直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．
方法归纳
利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧
(1)常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，再利用方程的思想求解参数．
(2)解决此类问题时，常常需要结合图形，直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题来解决．
跟踪训练1 [多选题]若点A(－3，4)与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的坐标可以为( )
A．(0，0) B．(6，0)
C．(－6，0) D．(0，8)
题型二 两点间的距离公式的应用
例2
已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状．
方法归纳
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
跟踪训练2 (1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，求x的值．
题型三 运用坐标法解决平面几何问题
例3 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法归纳
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤
1．建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
2．用坐标表示有关的量；
3．将几何关系转化为坐标运算；
4．把代数运算结果“翻译”成几何关系．
跟踪训练3 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
易错辨析 应用直线系方程漏解引发的错误
例4 过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，且到原点的距离为的直线方程．
解析：设所求直线为x＋y－1＋λ(2x－y＋4)＝0，
即(2λ＋1)x＋(1－λ)y＋4λ－1＝0，由点到直线的距离公式得λ＝－
所以所求直线方程为2x＋11y－20＝0.
因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为，
故直线2x－y＋4＝0也符合题意．
故所求的直线方程为2x＋11y－20＝0和2x－y＋4＝0.
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．经过点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则|AB|等于( )
A．8 B．4
C.2 D．
2．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是( )
A.直角三角形 B．等腰三角形
C.等边三角形 D．等腰直角三角形
3．点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．
4．已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋y－2＝0，求直线l上一点P，使得|PA|＝|PB|.
第1课时 两点间的距离公式
新知初探·课前预习
要点一
(1)|xB－xA|
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．解析：由两点间的距离公式得|AB|＝＝.故选B.
答案：B
3．解析：|AB|＝＝＝＝|a＋b|.故选D.
答案：D
4．解析：＝5，∴a＝4或－2.
答案：D
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)设点M(x，0)(x>0)，由题意可知，＝，解得x＝.所以点M的坐标为(，0)．
(2)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1，0)，
与y轴的交点为，
所以两交点之间的距离为＝(m≠0)．
答案：(1)(，0) (2) (m≠0)
跟踪训练1 解析：①若点P在x轴上，设点P的坐标为(x，0)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为(0，0)或(－6，0)．
②若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为(0，0)或(0，8)．
故所求的点P有3个，坐标分别为(0，0)，(－6，0)，(0，8)．
答案：ACD
例2 解析：方法一 ∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二 ∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
跟踪训练2 解析：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为(－，0)．
|PA|＝＝.
(2)由|MN|＝7，
得|MN|＝＝7，
即x2－4x－45＝0，
解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
例3 证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，
|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
跟踪训练3 证明：
如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
[课堂十分钟]
1．解析：由题意可得＝tan 135°＝－1，解得y＝－3，
则|AB|＝＝2.故选C.
答案：C
2．解析：|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，|AB|＝|AC|，故选B.
答案：B
3．解析：因为点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，
所以－＝，则k＝－.
又A，B的中点在直线上，所以2＝－＋b，
则b＝，所以直线方程为y＝－x＋，令y＝0，解得x＝.
答案：
4．解析：因为点P在直线l上，所以可设P(t，2－4t)．
又A(4，－3)，B(2，－1)，所以由|PA|＝|PB|可得，(t－4)2＋(5－4t)2＝(t－2)2＋(3－4t)2，
解得t＝，所以P.易错原因
纠错心得
应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线2x－y＋4＝0.
直线系(2λ＋1)x＋(1－λ)x＋4λ－1＝0表示经过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，但不包括直线2x－y＋4＝0，而本题是特殊情况，因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为.