2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市一级校联盟高二（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l：x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.若椭圆C：mx2+y2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为( )
A. 12B. 14C. 2D. 4
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，3S4=4S3+12，则a7等于( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
4.已知数列{an}满足a1=1，且an+1=annan+1，则a10=( )
A. 145B. 146C. 155D. 156
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(−1,0)，B(2,0)，点P满足|PA||PB|=12，则点P到直线x+ 3y=4的距离的最小值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
6.已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(12,0)的直线与抛物线C交于A，B两点(A在第一象限)，D是以AB为直径的圆E与抛物线C的准线的公共点.若|AD|= 3|BD|，则|AB|=( )
A. 43B. 83C. 113D. 8 33
7.已知O是坐标原点，F1，F2是椭圆C：x24+y22=1的左、右焦点，P是椭圆在第一象限上的点，且cs∠F1PF2=13，M是∠F1PF2的角平分线上的动点，则|MF1|+|MO|的最小值为( )
A. 6B. 7C. 2 2D. 3
8.已知数列{an}满足an=(−1)n4n4n2−1(n∈N+)，其前2n项和为S2n，设函数f(x)= 33x+ 3，则f(|S2|)+f(|S4|)+…+f(|S2022|)+f(|S2024|)+f(|S2024+1|)+f(|S2022+1|)+…+f(|S4+1|)+f(|S2+1|)=( )
A. 0B. 1C. 1012D. 2024
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线l1：ax+2y−2=0，直线l2：x+(a+1)y−2=0，则下列结论正确的是( )
A. 若l1//l2，则a=1或a=−2
B. 若l1⊥l2，则a=−23
C. 当l1//l2时，两直线的距离为 5
D. 当l1⊥l2时，两直线的交点坐标为(32,32)
10.已知圆O1：x2+y2−4x=0和圆O2：x2+y2−3x+ 3y−4=0的交点为A，B，则下列结论正确的是( )
A. 直线AB的方程为x+ 3y−4=0
B. |AB|=2 2
C. 圆O1上有且只有三个点到直线AB的距离等于1
D. 经过圆O1的圆心的直线被圆O2截得的最短弦长为2 6
11.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列，在数列的每相邻两项之间插入此两项的和后，与原数列构成新的数列，再把所得的数列按照同样的方法不断的构造出新的数列.如：将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第n(n∈N+)次得到数列1，x1，x2，x3，…，2现将数列1，1用上述方法进行构造，记第n(n∈N+)次构造后所得新数列的所有项的和为an，则对于数列{an}，下列结论正确的是( )
A. a4=84
B. an+1=3an−2
C. 若f(n)=an+100an−1，n∈N+，则f(n)的最小值为21
D. 若bn=2an−2，则i=12023bi0)为公差的等差数列，CF的延长线与E的另一个交点为P，则下列结论正确的是( )
A. 当d=2时，AF⊥x轴
B. d的取值范围是(0, 2]
C. 当A，C在x轴的同侧时，△AFC面积的最大值为4 2
D. 当A，C在x轴的异侧，且d=2时，∠PAC=90°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，焦点为F，且经过点A(x0,2)，若|AF|=3|OF|，则p= ______ ．
14.已知曲线y= −x2−2x与直线kx−y−2k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是______ ．
15.潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人(编号为1号到2023号，中间没有空缺)，则获得精品吉祥物的人数为______ ．
16.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，斜率为−23的直线与E的左、右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为(−2,3)，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D.若直线CD的斜率为−23，则E的离心率为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC的顶点为A(1,−1)，B(5,3)，C(−1,1)．
(1)求△ABC的BC边上的高AD所在直线的方程；
(2)直线l经过线段AB的中点M，且A，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知数列{an}为非零数列，且满足(1+a1)(1+a2)…(1+an)=2n(n+1)2．
(1)求a1及数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn=2nanan+1，证明：Tn0,b>0)，四点A(4,3)，B(3,4 2)，C(2,2 3)，D(−2,−2 3)中恰有三点在双曲线Γ上．
(1)求双曲线Γ的标准方程；
(2)设双曲线Γ上任意一点P(x0,y0)，且过点P的直线l：x0xa2−y0yb2=1与双曲线Γ的渐近线交于M，N两点，O为坐标原点，证明：△OMN的面积为定值．
20.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，圆C经过点(3,0)和(0,1)，且圆心C在直线l1：2x+y−1=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2：2x−y+7=0，P为l2上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB切点分别为A，B，求|PC|⋅|AB|的最小值，并求出此时直线AB的方程．
21.(本小题12分)
已知递减等差数列{an}满足a1=8，且2a1，a2+2，a3成等比数列.数列{bn}的首项为2，其前n项和Sn满足Sn+1=qSn+2(其中q>0，n∈N+)，且b3=a1．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn=|an⋅bn|，{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
22.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，且焦距为4，上顶点为M，且直线MA，MB的斜率之积为−59．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设斜率存在的直线l交椭圆E于P，Q两点(P,Q位于x轴的两侧)，记直线AP，BP，BQ，AQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k2，k1+k4，k3成等差数列．
证明：(i)直线l过定点；(ii)△BPQ的面积小于4 103．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：直线x− 3y+1=0的斜率为 33，
设倾斜角为α，则tanα= 33，
因为0°≤α