2021-2022学年福建省龙岩市一级校联盟（九校）高二下学期半期考（期中）数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年福建省龙岩市一级校联盟（九校）高二下学期半期考（期中）数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省龙岩市一级校联盟（九校）高二下学期半期考（期中）数学试题一、单选题1．下列导数运算正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用常用函数的导函数公式及导函数运算法则进行计算.【详解】，A错误；，B错误；，C错误；，D正确.故选：D2．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（       ） A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的加减法进行求解.【详解】解：在三棱锥中，E为OA的中点，，所以故选：A3．曲线在点A处的切线与直线垂直，则点A的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，根据题意结合导数的几何意义求出切点的横坐标，即可得出答案.【详解】解：，因为曲线在点A处的切线与直线垂直，所以函数在点A处的导数值为，即，所以，则，所以点A的坐标为.故选：B.4．函数的单调递减区间是（       ）A． B． C．和 D．【答案】B【分析】求出函数的定义域及导数，解不等式可得结果.【详解】函数的定义域为，由可得，因此，函数的单调递减区间是.故选：B.5．已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，由单调性得到在上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范围.【详解】，因为在上为单调递增函数，所以在上恒成立，令，要满足①，或②，由①得：，由②得：，综上：实数m的取值范围是.故选：D6．如图，正三棱柱的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，列方程计算平面的法向量为，设EF与平面所成角为，由可得解．【详解】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，连接，，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，设平面的法向量为，则，取，则，，故为平面的一个法向量，EF与平面所成角为，则EF与平面所成角的正弦值为，故选：A．7．设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，由题干条件得到在上为增函数，结合，，，从而判断出a，b，c的大小关系.【详解】因为，所以设，则，所以在上为增函数，又因为，，，，所以，即故选：C二、多选题8．对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（       ）A．若，则，的夹角是钝角B．若，，则C．若，则D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底【答案】BD【分析】根据空间向量夹角的定义、空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量数量积的运算性质、空间向量基底的定义逐一判断即可.【详解】A：当，时，显然，因为，所以，的夹角是平角，故本选项命题是假命题；B：因为，所以，因此本选项命题是真命题；C：当，，时，显然，但是，因此本选项命题是假命题；D：假设，，是共面向量，所以有，显然不可能，所以，，不是共面向量，因此，，可以作为空间中的一组基底，所以本选项命题是真命题，故选：BD9．如图，和所在平面垂直，且，，则（       ） A．直线与直线所成角的大小为B．直线与直线所成角的余弦值为C．直线与平面所成角的大小为D．直线与平面所成角的大小为【答案】ABC【分析】过点在平面内作交于点，过点在平面内作交于点，证明出平面，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】如下图所示，过点在平面内作交于点，过点在平面内作交于点，因为平面平面，平面平面，，平面，平面，同理可得平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、.对于A选项，，，则，，故直线与直线所成角的大小为，A对；对于B选项，，，，所以，直线与直线所成角的余弦值为，B对；对于C选项，，平面的一个法向量为，，所以，直线与平面所成角的大小为，C对；对于D选项，，平面的一个法向量为，，所以，直线直线与平面所成角的大小为，D错.故选：ABC.10．已知函数在上可导，且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（       ）A．函数在上为减函数 B．是函数的极小值点C．函数必有个零点 D．【答案】ABD【分析】利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，结合极值点定义和可知ABD正确；由于零点个数无法确定，则零点个数无法确定，知C错误.【详解】由题意得：；由知：当时，，即；当时，，即，在上单调递减，在上单调递增，A正确；是的极小值点，B正确；在上单调递增，，即，，D正确；，，若在或在上无零点，则无两个零点，C错误.故选：ABD.11．已知函数，，若，，使得成立，则a的取值可以是（       ）A．0 B． C． D．【答案】AD【分析】由题意，要使对，，，，使得成立，只需，且，，，，然后利用导数研究它们的最值即可．【详解】解：，当时，，当时，，所以在上递减，在，上递增，故当，时，，对于二次函数，该函数开口向下，所以其在区间，上的最小值在端点处取得，所以要使对，，，，使得成立，只需，因为函数开口向下，所以当，时，（1），（2），所以或，所以或，解得．故选：AD.三、填空题12．平面经过点且一个法向量，则平面与轴的交点坐标是___________.【答案】【分析】设平面与轴的交点为，由已知可得，求出的值，即可得解.【详解】设平面与轴的交点为，则，由已知可得，解得，因此，平面与轴的交点坐标是.故答案为：.13．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为___________.【答案】【分析】由空间向量求解【详解】，直线l的方向向量为，由题意得点到l的距离故答案为：14．若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为___________.【答案】【分析】求出导函数，根据函数在上存在单调递减区间，可得在上有解，即不等式在上有解，求出的最小值，即可得解.【详解】解：，因为函数在上存在单调递减区间，所以在上有解，即不等式在上有解，令，令，则，所以，即实数a的取值范围为.故答案为：.15．设函数已知，且，若的最小值为，则a的值为___________.【答案】2【分析】由题意表示出，由导数分析单调性后求最小值，再列方程求解【详解】在和上单调递增，若有两解，则，且，，则，，令，，则，①当即时，在上单调递减，，解得，②当即时，在上单调递减，在上单调递增，得（舍去）综上，故答案为：2四、解答题16．已知正方体的棱长为2，点E满足，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先得到点在平面上，转化为的最小值为点到平面的距离，再利用等体积法求解即可．【详解】解：正方体的棱长为2，等边的边长为，，∴四点共面，即点在平面上，的最小值为点到平面的距离，由等体积法得，，，．故选：C．17．已知向量，，点，.(1)求；(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.【答案】(1)5(2)【分析】（1）根据空间向量坐标表示的线性运算求出，再根据向量模的坐标公式即可得解；（2）设，根据求出，再根据可得，从而可求得，即可求出，从而可得出答案.【详解】(1)解：因为，，所以，所以；(2)解：设，由，，得，则，故，因为，所以，即，解得，所以，设，则，所以，解得，所以.18．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为BC的中点. (1)求证：平面；(2)若F为的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】(1)解法1：如图，连接交于点O，连接OD， 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，因为D为BC的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面．解法2：因为在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，两两垂直，故以B点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，因为，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，∴，平面，所以平面；(2)设与平面所成角为，由(1)知平面的法向量为，F为中点，∴，，∴即与平面所成角正弦值为.19．已知函数.(1)求的极值；(2)若有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解；（2）结合（1）得当时，不可能有两个零点；当时，只需的极小值，进而令函数，，再根据单调性和解不等式即可.【详解】(1)解：，所以，当时， 恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令得，令得，此时函数在上单调递增，在上单调递减；所以当时，取得极小值，无极大值.综上，当时，无极值；当时，时取得极小值，无极大值.(2)解：由，所以，当时，由（1）知，函数在上单调递增，不可能有两个零点；当时，由（1）知在上递减，上递增，的极小值为，又，趋向正无穷时趋于正无穷大，所以只需，即可保证有两个零点.故令且，则，所以递减，又，所以，所以时，有两个零点.即m的取值范围是.20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F是AB边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm.(1)求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求出函数的定义域.(2)当x为多少时，包装盒的容积V（）最大？最大容积是多少？【答案】(1)，(2)当时，包装盒的容积最大是【分析】（1）设包装盒的高为，底面边长为，分别将用表示，求出函数的解析式，注明定义域即可．（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可．【详解】(1)解：设包装盒的高为，底面边长为，则，，，所以，；(2)解：由，可得，当时，；当时，，所以函数在上递增，在上递减，当时，取得极大值也是最大值：．所以当时，包装盒的容积最大是．21．图是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图.(1)求证：平面平面；(2)在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出二面角的大小；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据长度关系可证得为等边三角形，取中点，由等腰三角形三线合一和勾股定理可证得、，由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设存在且，由共线向量可表示出点坐标，利用点到面的距离的向量求法可求得，进而由二面角的向量求法求得结果.【详解】(1)在图中取中点，连接，，，，，，，，，，四边形为矩形，，，又，为等边三角形；又，为等边三角形；在图中，取中点，连接，为等边三角形，，，，又，，，又，平面，平面，平面，平面平面.(2)以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设棱上存在点且满足题意，即，解得：，即，则，设平面的法向量，则，令，则，， 到平面的距离为，解得：，，又平面的一个法向量，，又二面角为锐二面角，二面角的大小为.22．设函数.(1)当时，判断函数的单调性；(2)证明：.【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，故在上单调递增；(2)证明过程见解析.【分析】（1）求定义域，求导，由，结合二次函数根的分布，分与两种情况求解函数单调性；（2）在第一问的基础上，令，得到，当且仅当时取等号，再用赋值法及裂项相消法求和，得到不等式的证明【详解】(1)的定义域为，令，因为，所以，当时，恒成立，即恒成立，故在上单调递减；当时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，故在上单调递增；(2)由（1）知：当时，在上单调递减，所以所以，当且仅当时取等号，令，则，所以，【点睛】与正整数相关的导函数证明或求解参数的取值范围问题，要能够结合题干中的函数单调性，最值，采用赋值法，数列中的裂项相消法求和等知识进行求解.