2022-2023学年河北省保定市唐县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省保定市唐县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知在△ABC中，AB=3，BC=8，则边AC的长可能是( )
A. 4B. 5C. 6D. 11
3.下面是某同学在一次作业中的计算摘录：其中正确的是( )
A. a2⋅a2=2a2B. x8÷x4=x2C. aa+2D. (a5)2=a10
4.如图：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是( )
A. 两点之间线段最短
B. 垂线段最短
C. 两定确定一条直线
D. 三角形具有稳定性
5.下列约分正确的是( )
A. x6x2=x3B. x+yx+y=0C. 2xy24x2y=12D. x+yx2+xy=1x
6.下列说法中错误的是( )
A. 三角形的中线、角平分线、高线都是线段
B. 边数为n的多边形内角和是(n−2)×180°
C. 两锐角互余的三角形是直角三角形
D. 三角形的一个外角大于任何一个内角
7.1纳米=10−9米，甲型H1N1病毒细胞的直径约为156纳米，则156纳米写成科学记数法的形式是( )
A. 156×10−9米B. 15.6×10−8米C. 1.56×10−7米D. 0.156×10−7米
8.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. AB，BC，CAB. AB，BC，∠B
C. AB，AC，∠BD. ∠A，∠B，BC
9.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是( )
A. B. C. D.
10.如图，△ABC≌△FED，那么下列结论正确的是( )
A. EC=BD
B. EF/​/AB
C. DE=BD
D. AC/​/ED
11.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，P点到OA的距离PE=2，点F是OB上任意一点，则线段PF的长的取值范围是( )
A. PF<2
B. PF>2
C. PF≥2
D. PF≤2
12.如图，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，连接BE、CE，若图中阴影部分的面积为10，则△ABC的面积为( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
13.定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD=∠A+∠B．
下列说法正确的是( )
A. 证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B. 证法1用严谨的推理证明了该定理
C. 证法2用特殊到一般法证明了该定理
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
14.斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A−B−C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是( )
A. 0.5米/秒B. 1米/秒C. 1.5米/秒D. 2米/秒
15.如图，△ABC中，若∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是( )
A. ∠BAQ=40°
B. DE=12BD
C. AF=AC
D. ∠EQF=25°
16.如图，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，则∠BOC=( )
A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°
二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
17.(1)当x ______ 时，分式13−x有意义；
(2)已知x+y=10，xy=1，则代数式x2y+xy2的值为______ ．
18.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=2，则HC= ______ ，△ABC的面积是______ ．
19.(1)如图，在△ABC中，AC(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ，若∠AQC=3∠B，则∠B的度数为______ ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：已知两分式x2−2x+11x+1中间阴影覆盖了运算符号．
(1)若覆盖了“+”，计算其运算结果；
(2)若覆盖了“÷”，并且运算结果为2，求x的值．
21.(本小题8分)
如图，一个长和宽分别为x+2y，2x+y的长方形中剪下两个大小相同的边长为y的正方形(有关线段的长如图所示)，留下一个“T”型的图形(阴影部分)．
(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
(2)若|y−3|+(x−2)2=0，请计算“T”型区域的面积．
22.(本小题8分)
如图，点E是△ABC的边BC上一点，∠DAB=∠CAE，AD=AB，AE=AC．
(1)求证：△ADE≌△ABC；
(2)若∠C=70°，求∠BEF的度数．
23.(本小题8分)
如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形(其中A、B、C分别是A、B、C的对应点，不写画法)；
(2)直接写出A′、B′、C′三点的坐标；
(3)平面内一点P(3,−2)关于直线x轴对称点的坐标为______ ．
(4)若点C为y轴上动点，当△ABC周长最小时，画出点C的位置(不写画法，保留作图痕迹)．
24.(本小题8分)
列分式方程解应用题：随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周2000件提高到3200件，平均每人每周比原来多投递90件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件．
(1)根据题意，用含x的式子表示：更换交通工具后平均每人每周投递快件______件，更换交通工具前每周投递2000件需快递人员为______人，更换交通工具后每周投递3200件需快递人员为______人．
(2)列出方程，完成本题解答．
25.(本小题8分)
图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于______ ；面积等于______ ．
(2)观察图2，请你写出下列三个代数式(a+b)2，(a−b)2，ab之间的等量关系为______ ．
(3)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn=5，m−n=4，试求m+n的值．
26.(本小题8分)
如图①，线段BC=6，过点B、C分别作垂线，在其同侧取AB=4，另一条垂线上任取一点D.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线CD运动．当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为t(s)．
(1)当t=1时，CP=______，用含a的代数式表示CQ的长为______．
(2)当a=2，t=1时，
①求证：△ABP≌△PCQ．
②求证：AP⊥PQ．
(3)如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC=∠DCB”，其它条件不变．若△ABP与△PCQ全等，直接写出对应的a、t的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据轴对称图形的定义可知，只有B选项符合题意，
故选：B．
根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”判断即可得．
本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，AB=3，BC=8，
则8−3观察四个选项，边AC的长可能是6，
故选：C．
根据三角形的三边关系列出不等式，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边．
3.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a2=a4，故原计算错误；
B.x8÷x4=x4，故原计算错误；
C.2a2+3a2=5a2，故原计算错误；
D.(a5)2=a10，故原计算正确；
故选：D．
分别根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方计算即可．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：D．
根据三角形的稳定性即可求解．
本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、分式的分子分母约去公因式x2后，其结果应为x4，故本选项错误；
B、分式分子分母相同，约分后值应为1，故本选项错误；
C、分式的分子分母约去公因式2xy后结果为：y2x，故本选项错误；
D、分母分解因式后与分子约去公因式x+y，结果正确；
故选：D．
根据分式的基本性质作答．分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变．
本题考查了分式的约分的知识，是分式运算的基础，应要求学生重点掌握．
6.【答案】D
【解析】解：A.三角形的中线、角平分线、高线都是线段，说法正确，不符合题意；
B.边数为n的多边形内角和是(n−2)×180°，说法正确，不符合题意；
C.两锐角互余的三角形是直角三角形，说法正确，不符合题意；
D.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，说法错误，符合题意．
故选：D．
根据三角形的性质求解即可．
此题考查了三角形的性质，多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握三角形的性质．
7.【答案】C
【解析】解：156纳米=156×10−9米=0.000000156米=1.56×10−7米．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】C
【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：A.根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
B.根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
D.根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意，
故选：C．
9.【答案】A
【解析】解：拿一张纸具体剪一剪，结果为A．
故选：A．
由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．
本题着重考查学生对立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．要注意空间想象，哪一个平面展开图对面图案都相同．
10.【答案】B
【解析】解：A、EC、BD不是对应边，不相等，故本选项错误；
B、∵△ABC≌△FED，
∴∠E=∠A，
∴EF//AB，正确，故本选项错误；
C、DE与BD不是对应边，不相等，故本选项错误；
D、AC、ED共线，不平行，故本选项错误．
故选：B．
根据全等三角形的对应角相等的性质，平行线的判定，结合图形对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：作PM⊥OB于M，
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，
∴PM=PE=2，
∵点N是OB上的任意一点，
∴PF≥PM，
∴PF≥2，
故选：C．
作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，进而得到得到线段PF的取值范围．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵AD为BC边上的中线，
∴S△ABC=2S△ABD=2S△ACD，S△EBD=S△ECD，
∵S阴影部分=S△EBD+S△ACE=S△EDC+S△ACE=S△ACD=10．
∴S△ABC=20．
故选：D．
根据三角形面积公式，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABC=2S△ACD，S△EBD=S△ECD，则S阴影部分=S△ACD．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
13.【答案】B
【解析】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A的说法不正确，不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，
∴B的说法正确，符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C的说法不正确，不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D的说法不正确，不符合题意；
综上，B的说法正确．
故选：B．
依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．
本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】【分析】
设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，利用时间=路程÷速度，结合小敏共用22秒通过AC路段，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【解答】
解：设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，
依题意得：12x+121.2x=22，
解得：x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，且符合题意，
∴小敏通过AB路段时的速度是1米/秒．
故选：B．
15.【答案】D
【解析】解：A.由作图可知，AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ=∠CAQ=12∠BAC=40°，
故选项A正确，不符合题意；
B.由作图可知，GQ是BC的垂直平分线，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=180°−∠BAC−∠ACB=30°，
∴DE=12BD，
故选项B正确，不符合题意；
C.∵∠B=30°，∠BAP=40°，
∴∠AFC=70°，
∵∠ACB=70°，
∴AF=AC，
故选项C正确，不符合题意；
D.∵∠EFQ=∠AFC=70°，∠QEF=90°，
∴∠EQF=20°；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
本题考查了尺规作图−作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
16.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了四边形内角和定理、三角形内角和定理和角平分线的定义；熟练掌握四边形内角和定理、三角形内角和定理是解决问题的关键．
由四边形内角和定理求出∠ABC+∠BCD=130°，由角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB=65°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，
∴∠ABC+∠BCD=360°−90°−140°=130°，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=65°，
∴∠BOC=180°−65°=115°，
故选B．
17.【答案】≠3 10
【解析】解：(1)∵分式13−x有意义，
∴3−x≠0，
解得：x≠3；
故答案为：≠3．
(2)∵x+y=10，xy=1，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=1×10=10，
故答案为：10．
(1)根据分式有意义的条件得出3−x≠0，即可求解．
(2)先将代数式因式分解，然后将已知式子代入代数式即可求解．
本题考查了分式有意义的条件，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键．
18.【答案】2 12
【解析】解：∵D是AB的中点，四边形BCHG是矩形，
∴AD=BD，∠G=∠AFD=90°，
在△ADF和△BDG中，
∠AFD=∠G∠ADF=∠BDGAD=BD，
∴△ADF≌△BDG(AAS)，
∴DF=DG，AF=BG=2，
根据矩形的性质可知HC=BG=2；
同理：△AEF≌△CEH，
∴EF=EH，
∴GH=2(DF+EF)=2DE=2×3=6，
∴△ABC的面积=矩形BCHG的面积=2×6=12．
故答案为：2；12．
先证明△ADF≌△BDG，△AEF≌△CEH，把三角形的面积化为矩形的面积，进而即可求解．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，通过全等三角形的判定，把三角形的面积化为矩形的面积，是解题的关键．
19.【答案】5 36°
【解析】解：(1)∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，AP=6，
∴PA=PB=6，
∵BC=11，
∴PC=BC−BP=5；
(2)根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°，
解得x=36°，即∠B=36°．
故答案为：①5；②36°．
(1)根据垂直平分线的性质，得到PA=PB=6，再结合图形求解即可；
(2)根据等腰三角形的性质得到∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由题意得到等式∠AQC=3x，利用三角形内角和定理求解即可得到答案．
本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．
20.【答案】解：(1)x2−2x+1+1x+1=x2−2+1x+1=(x+1)(x−1)x+1=x−1．
(2)x2−2x+1÷1x+1=2，x2−2x+1×x+11=2；x2−2=2，x=±2，
经检验x=±2是原方程的解．
【解析】(1)根据分式的加法运算法则计算即可；
(2)根据题意解分式方程求解即可．
本题主要考查了分式的混合运算、解分式方程等知识点，掌握相关运算法则和方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由图可得，
“T”型区域的面积为：(2x+y)(x+2y)−2y2
=2x2+4xy+xy+2y2−2y2
=2x2+5xy；
(2)∵|y−3|+(x−2)2=0
∴y−3=0，x−2=0，
解得y=3，x=2．
∴T=2x2+5xy
=2×22+5×2×3
=2×4+5×2×3
=8+30
=38(平方米)，
答：“T”型区域的面积是38平方米．
【解析】(1)根据“T”型图形的面积等于大长方形的面积减去2个正方形的面积列出代数式，根据多项式的乘法进行计算化简即可；
(2)根据非负数的性质求得x，y的值，代入(1)中化简结果进行计算即可．
本题考查整式的混合运算、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22.【答案】(1)证明：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠EAF=∠CAE+∠EAF，
即∠DAE=∠BAC，
在△ADE和△ABC中，
AD=AB∠DAE=∠CABAE=AC，
∴△ADE≌△ABC(SAS)；
(2)解：由(1)知：△ADE≌△ABC，
∴∠AED=∠C=70°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠C=70°，
∴∠BEF=180°−∠AED−∠AEC=180°−70°−70°=40°．
【解析】(1)根据已知条件得出∠DAE=∠BAC，进而证明△ADE≌△ABC(SAS)，即可得证；
(2)根据全等三角形的性质得出∠AED=∠C=70°，由AE=AC得出∠AEC=∠C=70°，继而根据平角的定义即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23.【答案】(3,2)
【解析】解：(1)如图所示：
(2)A′，B′，C′三点的坐标：A′(3,3)，B′(4,−2)，C′(0,−1)；
(3)平面内一点P(3,−2)关于直线x轴对称点的坐标为(3,2)，
故答案为：(3,2)；
(4)根据对称性，连接AB′，交y轴于点C，则点C即为所求，如图所示．
(1)根据轴对称线的性质找到A，B，C关于y轴对称的对应点A′，B′，C′，顺次连接即可求解；
(2)根据坐标系写出点的坐标即可求解；
(3)根据关于y轴对称的点的坐标特征，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解；
(4)根据对称性，连接AB′，交于点y轴于点C，则点C即为所求．
本题考查了轴对称作图，关于y轴对称轴的坐标特征，轴对称求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
24.【答案】(x+90) 2000x 3200x+90
【解析】解：(1)更换交通工具后平均每人每周投递快件(x+90)件，每周投递3000件需快递人员为2000x人，每周投递3200件需快递人员为3200x+90人；
故答案为：(x+80)，2000x，3200x+90；
(2)设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件(x+90)件，
依题意，得：2000x=3200x+90；
解得x=150，
经检验x=150是方程的根，
答：原来平均每人每周投递快件150件．
(1)根据题意列式即可；
(2)设原来平均每人每周投递快件x件，现在平均每人每周投递快件(x+90)件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到方程是解题关键．
25.【答案】a−b (a−b)2 (a+b)2−(a−b)2=4ab
【解析】解：(1)图中阴影部分边长为a−b，
则阴影部分的面积为(a−b)2，
故答案为：a−b；(a−b)2；
(2)阴影部分面积=a+b为边长的正方形面积−四个以a为长、b为宽的4个长方形面积=(a+b)2−4ab；
∴(a+b)2−4ab=(a−b)2；
即(a+b)2−(a−b)2=4ab，
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab；
(3)由(2)得，(m+n)2−(m−n)2=4mn，
∴(m+n)2−42=20，
∴m+n=±6．
(1)根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；
(2)用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于(a+b)2、(a−b)2、ab的等式；
(3)根据(2)中结论即可解题．
本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得(a+b)2−4ab=(a−b)2是解题的关键．
26.【答案】4 a
【解析】解：(1)答案是：4，a；
(2)①如图1，
当a=2，t=1时，
BP=CQ=2，
∵BC=6，
∴CP=AB=4，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△PCQ(SAS)；
②∵△ABP≌△PCQ，
∴∠A=∠CPQ，
在Rt△ABP中，
∠A+∠APB=90°，
∴∠CPQ+∠APB=90°，
∴∠APQ=90°，
∴AP⊥PQ．
(3)∵∠ABC=∠DCB，
∴△BAP≌△CPQ或△BAP≌△CQP，
如图2，
若△BAP≌△CPQ，
则PC=AB=4，
∴CQ=BP=BC−PC=2，
∴t=22=1，
a=vP=2，
如图3，
若△BAP≌△CQP，
则CQ=AB=4，
BP=CP=12BC=3，
∵tQ=tP=32，
∴a=432=83．
(1)由路程=速度×时间公式求得；
(2)①当a=2，t=1时，得出BP=CQ，AB=CP，根据“SAS”得证；
②根据①结合“全等三角形的对应角相等”可得∠A=∠CPQ，进而根据等量代换得证；
(3)分为△BAP≌△CPQ或△BAP≌△CQP两种情形，若△BAP≌△CPQ，可得对应边PC=AB=4，CQ=BP=BC−PC=2，进而根据“时间=路程速度“，“速度=路程时间”求得，另一种情形类似．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是找出对应，正确分类．证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)，
又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角定义)，
∴∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换)．
∴∠ACD=∠A+∠B(等式性质)．
证法2：如图，
∵∠A=76°，∠B=59°，
且∠ACD=135°(量角器测量所得)
又∵135°=76°+59°(计算所得)
∴∠ACD=∠A+∠B(等量代换)．