新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点2三角形中的基本量的求解教师用书

这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形核心考点2三角形中的基本量的求解教师用书，共3页。

(1)若C＝eq \f(7π,12)，求A；
(2)若A＝eq \f(π,4)，b＝2，求△ABC的面积．
【解析】 (1)因为eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(cs2\f(A,2)－sin2\f(A,2),1＋2sin \f(A,2)cs \f(A,2))
＝eq \f(cs2\f(A,2)－sin2\f(A,2),cs2\f(A,2)＋sin2\f(A,2)＋2sin\f(A,2)cs\f(A,2))
＝eq \f(cs2\f(A,2)－sin2\f(A,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(A,2)＋sin\f(A,2)))2)＝eq \f(cs\f(A,2)－sin\f(A,2),cs\f(A,2)＋sin\f(A,2))＝eq \f(1－tan\f(A,2),1＋tan\f(A,2))
＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(A,2)))，
eq \f(sin\f(3,2)B,1＋cs\f(3,2)B)＝eq \f(2sin\f(3,4)Bcs\f(3,4)B,2cs2\f(3,4)B)＝eq \f(sin\f(3,4)B,cs\f(3,4)B)＝taneq \f(3,4)B，
所以由eq \f(cs A,1＋sin A)＝eq \f(sin \f(3,2)B,1＋cs \f(3,2)B)
得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(A,2)))＝tan eq \f(3,4)B．
因为0所以0联立①②得A＝eq \f(π,4).
(2)因为A＝eq \f(π,4)，所以eq \f(π,4)－eq \f(A,2)＝eq \f(π,8)，0sin C＝sin(A＋B)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝sin eq \f(π,4)cs eq \f(π,6)＋cseq \f(π,4)sineq \f(π,6)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝4，可得a＝4sin A＝2eq \r(2)，
c＝4sin C＝4×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \r(6)＋eq \r(2)，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,4)ac＝eq \f(1,4)×2eq \r(2)×(eq \r(6)＋eq \r(2))＝eq \r(3)＋1.
方法技巧·精提炼
用正弦、余弦定理求解三角形中的基本量的方法
(1)若已知的式子中含有余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；
(2)若已知的式子中含有正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；
(3)若已知的特征都不明显，则考虑两个定理都能用到．
加固训练·促提高
(2023·陕西西安统考一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(c－2a)cs B＋bcs C＝0.
(1)求B；
(2)若△ABC的周长为6，b＝2，求△ABC的面积．
【解析】 (1)∵(c－2a)cs B＋bcs C＝0，
根据正弦定理可得：(sin C－2sin A)cs B＋sin Bcs C＝0，
即(sin Ccs B＋sin Bcs C)－2sin Acs B＝0.
∴sin(B＋C)－2sin Acs B＝0，即sin A－2sin Acs B＝0.
∵0∴sin A≠0，
∴cs B＝eq \f(1,2)，
又0(2)由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accs B，
即4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
又a＋b＋c＝6，b＝2，
∴ac＝4.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).