炎德英才·名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第二次联考数学（B）卷（含解析）

这是一份炎德英才·名校联考联合体 2023 年秋季高二年级第二次联考数学（B）卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=3+4i1-2i，则z=( )
A. 5B. 5 5C. 10D. 10 5
2.已知集合A=x|4≤x0,b>0)，O为椭圆的对称中心，F为椭圆的一个焦点，P为椭圆上一点，PF⊥x轴，PF与椭圆的另一个交点为点Q，△POQ为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. 32B. 35C. 3+12D. 5-12
8.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为1，P为棱AE的中点，DQ=13DA，设直线FP与CQ的夹角为θ，则tan θ=( )
A. 263B. 3 2626C. 216D. 156
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数a>b>0>c，则下列不等式正确的是
A. ac>bcB. a-b>b-cC. ac2>bc2D. 1ac>1bc
10.为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则
( )
A. APP使用人数最多的是微信
B. 微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍
C. 微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和
D. 抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%
11.对于数列an，若a2=2，a2n+a2n+2=4nn∈N*，则下列说法正确的是
( )
A. a6=6B. 数列an是等差数列
C. 数列a4n - 2是等差数列D. a4n=16n-2
12.已知双曲线C：x212-y212=1与椭圆Γ：x2k+y2=1有公共的焦点F1，F2，N是双曲线C的一条渐近线上的一点，O是椭圆Γ的对称中心，点P，Q分别为C，Γ上的动点，N，P位于y轴的同侧，且Q不在x轴上，则
( )
A. k=2
B. ∠PON∈(0,π2)
C. 当P为C与Γ的交点时，cs∠F1PF2=13
D. ∠F1QF2∈0,π2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=1,3+t，b=-2,4，且3a-b//a，则a=________．
14.等比数列an的前n项和为Sn，若S5S10=133，则a10a9+a8=________．
15.已知直线l1：x+4y=0，直线l2过点-4,132且与直线l1相互垂直，圆C：x2+y2+6x-4y-3=0，若直线l2与圆C交于M，N两点，则MN=________．
16.如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，M在线段BC上，且CM=13BC，N是侧面CDD1C1上一点，且MN //平面A1BD，则线段MN的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知an是各项均为正数的等比数列，a1=4，且a1，a2+18，a3成等差数列．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=1lg4anlg4an + 1，求数列bn的前n项和．
18.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，an+an+2=2an+1n∈N*，且a2+a4=6，S6=21．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=an,n为奇数,2an-1,n为偶数,求数列bn的前2n项和T2n．
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A+sin Ccs B)=sin Abcs C- 3c．
(1)求B；
(2)若D是AC边上一点，且BD=CD=13b，设边AC上的高为h，求hc．
20.(本小题12分)
如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，FB // PA，PA=2AB=2FB，E为PA的中点，O为△BDE的外心．
(1)求证：AO⊥平面PCF；
(2)求平面PCF与平面BCF夹角的余弦值．
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0)，圆C:(x-1)2+y2=1与x轴交于点O，点B．
(1)证明：在x轴上存在异于点A的定点T(t,0)，使得对于圆C上任一点P，都有|PA||PT|为定值;
(2)点M为圆C上位于x轴上方的任一点，过(1)中的点T(t,0)作垂直于x轴的直线l，直线OM与l交于点N，直线AN与直线MB交于点R，求证：点R在椭圆上运动．
22.(本小题12分)
已知抛物线Γ:x2=2py(p>0)上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小3．
(1)求抛物线Γ的准线方程;
(2)若过点F的直线l与抛物线Γ交于A，B两点，线段AB的中垂线与抛物线T的准线交于点C，请问是否存在直线l，使得tan∠ACB=43?若存在，求出直线l的方程;若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了复数模的运算，主要考查了复数模的运算性质的理解与应用，属于基础题．
利用复数模的运算性质求解即可．
【解答】解：因为z=(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i2=11-2i，
所以|z|= 112+-22=5 5．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
先化简集合B，求出A∪B，最后由补集概念求解运算即可．
【解答】解：因为B={x|-17bc2，故C正确;
对于D项，由A得ac0，
因为a1，a2+18，a3成等差数列，
所以a1+a3=2(a2+18)，
又a1=4，所以4+4q2=2(4q+18)，
化简得(q+2)(q-4)=0，
解得q=4或q=-2(舍去)，
故{an}的通项公式为an=4×4n-1=4n．
(2)由(1)知bn=1lg4anlg4an+1
=1lg44nlg44n+1
=1n(n+1)=1n-1n+1，
设{bn}的前n项和为Sn，则Sn=1-12+12-13+⋯+1n-1-1n+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．
【解析】本题考查了等比数列的通项公式、等差数列的性质以及裂项相消法求和，是基础题．
(1)由a1，a2+18，a3成等差数列，得a1+a3=2(a2+18)，可得公比q，可得an的通项公式；
(2)由(1)知bn=1n-1n+1，由裂项相消求和可得数列bn的前n项和．
18.【答案】解：(1)由an+an+2=2an+1，得an+2-an+1=an+1-an，
所以数列{an}为等差数列，
设数列{an}的公差为d，
由a2+a4=6,S6=21,得2a1+4d=6,6a1+6×52d=21,解得a1=1,d=1,
所以an=1+(n-1)×1=n．
(2)当n为奇数时，bn=an=n；
当n为偶数时，bn=2an-1=2n-1，
所以T2n=(b1+b3+⋯+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)
=(1+3+⋯+2n-1)+(2+23+⋯+22n-1)=1+2n-1n2+21-4n1-4
=n2+22n+1-23．
【解析】本题考查等差数列的判定、通项公式和数列求和，属于一般题．
(1)判断出数列{an}为等差数列，求出首项和公差，即可得通项公式;
(2)分n为奇数和偶数讨论，求出bn，利用分组转化求和即可．
19.【答案】解：(1)因为a(sinA+sinCcsB)=sinA(bcsC- 3c)，
所以sin2A+sinAsinCcsB=sinAsinBcsC- 3sinAsinC，
又A∈(0,π)，所以sinA≠0，
所以sinA+sinCcsB=sinBcsC- 3sinC，
所以sin(B+C)+sinCcsB=sinBcsC- 3sinC，
所以sinBcsC+sinCcsB+sinCcsB=sinBcsC- 3sinC，
所以2sinCcsB=- 3sinC，
又C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以csB=- 32．
又B∈(0,π)，所以B=5π6．
(2)在△BCD中，由余弦定理得cs∠BDC=BD2+CD2-BC22BD⋅CD=2b2-9a22b2，
在△ABD中，由余弦定理得cs∠BDA=BD2+AD2-AB22AD⋅BD=5b2-9c24b2，
因为∠BDC+∠BDA=180∘，所以cs∠BDC=-cs∠BDA．
即2b2-9a22b2=-5b2-9c24b2，整理得b2-c2=2a2．
在△ABC中，由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac=- 32，
则-a22ac=-a2c=- 32，所以a= 3c.
所以b2-c2=6c2，即b= 7c.
所以S△ABC=12acsinB=12bh，即12 3c⋅c⋅12=12 7ch，解得h= 2114c，则hc= 2114．
【解析】本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了三角恒等变换，是中档题．
(1)利用正弦定理，三角恒等变换可求得csB=- 32.故可得B;
(2)在△BCD中，由余弦定理得cs∠BDC和在△ABD中，由余弦定理得cs∠BDA，故可求得b2-c2=2a2，结合csB可得a= 3c.结合面积公式可得答案．
20.【答案】解：(1)因为PA=2FB，E为PA的中点，
所以PE=FB，
又FB//PE，所以四边形PEBF是平行四边形，所以PF//EB，
又PF⊄̸平面BDE，EB⊂平面BDE，所以PF//平面BDE．
连接EF，如图所示，
同理，易证四边形ABFE是平行四边形，所以EF= //AB，
又CD= //AB，所以EF= //CD，所以四边形EFCD是平行四边形，所以CF/​/DE，．
又CF⊄̸平面BDE，DE⊂平面BDE，所以CF//平面BDE．
又PF∩CF=F，PF，CF⊂平面PCF，所以平面PCF//平面BDE．
因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2AB，E为PA的中点，
所以AB，AD，AE两两互相垂直，且AB=AD=AE，
所以由勾股定理可知BD=BE=DE，则三棱锥A-BDE是正三棱锥，
那么△BDE的外心O就是△BDE的中心，也是A在底面BDE上的射影，即△BDE的垂心，．
所以AO⊥平面BDE，
所以AO⊥平面PCF；
(2)以A为原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴正方向建立如右图所示的空间直角坐标系．
不妨设PA=2AB=2FB=2，则AB=AD=FB=1，
则点P(0,0,2)，C(1,1,0)，F(0,1,1)，B(0,1,0)，
则PC=(1,1,-2)，PF=(0,1,-1)．
设平面PCF的法向量为n=(x,y,z)，则
由n⋅PC=(x,y,z)⋅(1,1,-2)=x+y-2z=0,n⋅PF=(x,y,z)⋅(0,1,-1)=y-z=0,得x=z,y=z,
令z=1，得平面PCF的一个法向量为n=(1,1,1)，
又易知平面BCF的一个法向量为m=(0,1,0);
设平面PCF与平面BCF夹角大小为θ，则
csθ=|m⋅n|m||n||=|(0,1,0)⋅(1,1,1)1× 3|= 33，
由图可知，平面PCF与平面BCF夹角为锐角，
所以平面PCF与平面BCF夹角的余弦值为 33．
【解析】本题重点考查线面平行的判定、外心和垂心的性质和平面与平面的夹角，属于一般题．
(1)通过求证△BDE的外心O就是△BDE的中心，也是A在底面BDE上的垂心，即可求证AO⊥平面PCF；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
21.【答案】解：(1)由题意，得f'(x)=3x2+a，g'(x)=b-3x2，
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=3+a，
曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线斜率为g'(1)=b-3，
又f(1)=1+a，g(1)=b-1，
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(1+a)=(3+a)(x-1)，即y=(3+a)x-2;
令x=0，得y=-2;令y=0，得x=23+a，
则切线y=(3+a)x-2与坐标轴的交点分别为(0,-2)，(23+a,0)，
切线y=(3+a)x-2与坐标轴围成的三角形的面积为S1=12×|-2|×|23+a|=|23+a|;
曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y-(b-1)=(b-3)(x-1)，即y=(b-3)x+2，
令x=0，得y=2;令y=0，得x=23-b，则切线y=(b-3)x+2与坐标轴的交点分别为(0,2)，(23-b,0)，
切线y=(b-3)x+2与坐标轴围成的三角形的面积为S2=12×|2|×|23-b|=|23-b|;
由题意，|23+a|=|23-b|，所以a=-b或b-a=6；
(2)设直线l与曲线y=f(x)相切于点A(x1,y1)，与曲线y=g(x)相切于点B(x2,y2)，
又f'(x)=3x2+a，g'(x)=b-3x2，
则曲线y=f(x)在点A处的切线为y-(x13+ax1)=(3x12+a)(x-x1)，即y=(3x12+a)x-2x13，
曲线y=g(x)在点B处的切线为y-(bx2-x23)=(b-3x22)(x-x2)，即y=(b-3x22)x+2x23，
则3x12+a=b-3x22,-2x13=2x23,则3x12+3x22=b-a=6,x1=-x2,
所以6x12=6，解得x1=1,x2=-1,，或x1=-1x2=1
当x1=1,x2=-1时，直线l:y=(3+a)x-2;
当x1=-1,x2=1时，直线l:y=(3+a)x+2;
故存在直线l与曲线y=f(x)和y=g(x)都相切，直线l的方程为y=(3+a)x-2或y=(3+a)x+2．
【解析】略
22.【答案】【解析】(1)因为抛物线I:x2=2py上一点到焦点F的距离比它到直线y=-4的距离小于3，且p>0，
所以抛物线T:x2=2py上一点到焦点F的距离等于它到直线y=-1的距离，
所以-p2=-1，解得p=2，
故抛物线Ⅳ的方程是x2=4y，抛物线的准线方程为y=-1．
(2)由题意得F(0,1)，且l斜率一定存在，设l:y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+1,x2=4y,消去y可得x2-4kx-4=0，△=16k2+16>0，
则x1+x2=4k，x1x2=-4．
设AB中点为M，如图，
则tan∠ACB=tan2∠ACM=2tan∠ACM1-tan2∠ACM=2×|AM||CM|1-|AM|2|CM|2=43，
解得|CM|=2|AM|，即|CM|=|AB|．
当k=0时，易知|CM|=2，|AB|=|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2=4，不符合题意;
当k≠0时，设C(x3,y3)，M(x4,y4).
因为CM垂直平分AB，所以CM的斜率为-1k，
易知|CM|= 1+k2|y3-y4|，因此有 1+k2|y3-y4|= 1+k2|x1-x2|.
因为M为AB的中点，所以y4=y1+y22=k(x1+x2)+22=2k2+1，
由题意，y3=-1，即|x1-x2|=2k2+2， 16k2+16=2k2+2，
两边平方整理可得k4-2k2-3=0，解得k=± 3，
故存在直线l使得tan∠ACB=43，且直线l的方程为y= 3x+1或y=- 3x+1．
【解析】略