吉林省长春外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份吉林省长春外国语学校2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共7页。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书
写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．实数的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知对数函数是增函数，则函数的图象大致是（ ）.
A．B．
C．D．
4．已知函数，则的值是
A．2B．3C．5D．7
5．设，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位）可由公式：求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40（假设空气的温度保持不变）.
A．2B．4C．6D．8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（ ）
9．下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列所给函数中值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
11．若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．下列正确的命题是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．半径为2，面积等于的扇形的圆心角的大小是 ．
14．若函数（），则方程的解 .
15．设函数，若，则实数a的取值范围是 .
16．已知定义在上的函数图像关于点中心对称，且当时，，若的值域为，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）
（2）
18．已知角的终边落在直线上，且，求，，的值．
19．已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
20．已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
21．已知定义在上的函数
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若是奇函数，求的值；
（3）若的值域为D，且，求的取值范围．
22．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】使得式子有意义，列出不等式即可求解.
【详解】定义域要求，即.
故选：B．
2．C
【解析】利用指数函数、对数函数的单调性可得到的范围从而得到答案.
【详解】，，，
所以，
故选：C.
3．B
【分析】利用代特殊点和对数函数的图像性质排除选项即可.
【详解】由题意，，，
，所以函数是偶函数，
当时，，故排除选项C、D，
当时，由对数函数的单调性，对数函数增长越来越慢，可排除选项A.
故选：B
【点睛】本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数的奇偶性和带入特殊值排除法是解题的关键，属于基础题.
4．D
【分析】根据给定的分段函数，按条件分段计算即可作答.
【详解】函数，则，，
而，因此，，
所以
故选：D
5．A
【分析】分、解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】当时，由可得；
当时，由可得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：A.
6．B
【分析】根据终边上的点，结合三角函数的定义求余弦值即可.
【详解】由题设.
故选：B
7．D
【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.
【详解】因为为锐角，所以且，所以得，
由诱导公式得，.
所以.
故选:D
8．B
【分析】根据题意将数据，，，代入，可得，再将代入即可得，即可得答案.
【详解】由题意知：，，，
代入得：，
解得
所以当时，，
解得：，
所以，
所以再经过分钟物体的温度是40，
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.
9．BCD
【分析】利用诱导公式一一验证即可；
【详解】解：，故A不正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
10．AD
【解析】A. 利用幂函数的性质判断；B.令 ，转化为指数函数判断；C. 令，转化为对数函数判断；D. 分和 讨论求解判断.
【详解】A. 因为的定义域为，因为函数在上是减函数且为偶函数，所以其值域是，故正确；
B.令 ，则，故错误；
C. 令，则，故错误；
D. 当时，，当 时，，综上：，故正确；
故选：AD
11．BC
【分析】由，得，再利用对数运算公式对进行，，运算，从而可判断各选项.
【详解】由，得，
则，选项A错误；
，选项B正确，选项D错误；
， ，
，
，选项C正确.
故选：BC.
12．ACD
【分析】运用诱导公式、特殊角的三角函数值及同角三角函数的商数关系即可求得各个选项.
【详解】对于A项，，故A项正确；
对于B项，因为，所以，故B项错误；
对于C项，因为，所以，
所以，故C项正确；
对于D项，因为，
所以，故D项正确.
故选：ACD.
13．
【分析】根据扇形面积公式即可求出．
【详解】设扇形的圆心角的大小为，由可得，，解得．
故答案为：．
14．.
【分析】根据对数的运算性质，可得，解得答案．
【详解】解：因为，
所以，
即，
所以或（舍去），
故答案为：4．
【点睛】本题考查对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，属于基础题．
15．
【分析】根据指数函数和幂函数的性质可得在上为增函数，利用函数的单调性解不等式即可得解.
【详解】由于当时，为增函数，且，
由于当时，为增函数，且，
∴在上为增函数，
∵，∴，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：．
16．
【分析】由题可得函数关于点对称，进而可得当时，有解，利用基本不等式即得.
【详解】∵定义在上的函数满足，
∴函数关于点对称，又当时，，
要使函数的值域为，则当时，有解，
又当时，，当且仅当，即取等号，
∴，即实数的取值范围为.
故答案为：.
17．（1）8 ；（2）
【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案
（2）利用指数运算性质化简即可得到答案.
【详解】原式
；
原式
18．，，.
【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.
【详解】角的终边落在直线上，且，取角的终边上的点，
则，
所以，；.
19．（1）；（2）．
【分析】（1）由，利用三角函数的基本关系式，即可求解；
（2）由（1）知，得出可得，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】（1）由题意知，
可得，解得．
（2）由（1）知，所以，
可得，
所以．
20．（1）；（2）-1.
【分析】（1）用诱导公式化简函数得，已知条件为，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；
（2）由“1”的代换得，然后分子分母同除以的函数再代入求值．
【详解】（1）
∵，∴
（2）
．
【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间的三角函数关系，齐次式求值问题．关于的齐次分式均可化为关于的函数求值．
21．（1）单调递增；（2）1；（3）
【详解】试题分析：（1）判断函数的单调性可利用复合函数的单调性的性质进行判别，而证明只能根据定义，设，然后证明（或）；（2）函数为奇函数，则恒成立，由恒等式知识可求得的值，也可由求出，然后代入检验函数为奇函数即可；（3）函数的值域可由单调性得出，本题也可这样求：，，则有．
试题解析：（1）判断：函数在上单调递增
证明：设 且
则
即
在上单调递增
（2）是上的奇函数
即
（3） 由
的取值范围是
考点：函数的单调性、奇偶性，函数的值域，集合的关系．
22．(1)
(2)
【分析】（1）求得的定义域和值域及函数的单调性，得，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得当时，的值域；以及讨论，时的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围；
【详解】（1）由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，
又，即为奇函数.
又，
函数在上单调递减，值域为.
由复合函数的单调性质知在上单调递减，且的值域为R，
不等式，转化为，
因为为奇函数，所以，
因为在上单调递减，所以，
即，即，
即，解得，
则原不等式的解集为.
（2）因为存在，使得成立，
所以时，的值域与的值域有交集.
因为在上是减函数，，
所以的值域为，
当时，在上单调递减，故的值域为，
所以即，
当时，在上单调递增，故的值域为，不符.
综上所述，实数a的取值范围为.