2023-2024学年吉林省长春市长春外国语学校高一上学期12月月考数学word版含答案

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
2. 实数的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 已知对数函数是增函数，则函数图象大致是（）.
A. B.
C. D.
【答案】B
4. 已知函数，则的值是
A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】D
5. 设，则关于不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】A
6. 已知点在的终边上，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
7. 已知为锐角，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
8. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位）可由公式：求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40（假设空气的温度保持不变）.
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列选项中正确的是（）
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
10. 下列所给函数中值域为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
11. 若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】BC
12. 下列正确的命题是（）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 半径为2，面积等于的扇形的圆心角的大小是_________．
【答案】
14. 若函数（），则方程的解________.
【答案】.
15. 设函数，若，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
16. 已知定义在上的函数图像关于点中心对称，且当时，，若的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）；
（2）.
【答案】（1）8 ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数运算性质化简即可得出答案
（2）利用指数运算性质化简即可得到答案.
【详解】原式
；
原式
18. 已知角的终边落在直线上，且，求，，的值．
【答案】，，.
【解析】
【分析】根据给定条件，求出角α的终边上一个点的坐标，再利用三角函数定义求解即得.
【详解】角的终边落在直线上，且，取角的终边上的点，
则，
所以，；.
19. 已知，，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，利用三角函数的基本关系式，即可求解；
（2）由（1）知，得出可得，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】（1）由题意知，
可得，解得．
（2）由（1）知，所以，
可得，
所以．
20. 已知函数，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）-1.
【解析】
【分析】（1）用诱导公式化简函数得，已知条件为，然后求值式利用弦化切法化为正切的函数，再求值；
（2）由“1”的代换得，然后分子分母同除以的函数再代入求值．
【详解】（1）
∵，∴
（2）
．
【点睛】本题考查诱导公式，考查同角间三角函数关系，齐次式求值问题．关于的齐次分式均可化为关于的函数求值．
21. 已知定义在上的函数
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若是奇函数，求的值；
（3）若的值域为D，且，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；
（2）1； （3）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）利用函数奇偶性的定义求解即可；
（3）求出函数的值域，利用子集关系求解即可.
【小问1详解】
证明：设且
则
即
在R上单调递增
【小问2详解】
是R上的奇函数，
即
【小问3详解】
由
，
的取值范围是
22. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得的定义域和值域及函数的单调性，得，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得当时，的值域；以及讨论，时的值域，由题意可得和的值域存在交集，即可得到所求范围；
【小问1详解】
由，可得，故函数定义域为，关于原点对称，
又，即为奇函数.
又，
函数在上单调递减，值域.
由复合函数的单调性质知在上单调递减，且的值域为R，
不等式，转化为，
因为为奇函数，所以，
因为在上单调递减，所以，
即，即，
即，解得，
则原不等式的解集为.
【小问2详解】
因为存在，使得成立，
所以时，的值域与的值域有交集.
因为在上是减函数，，
所以的值域为，
当时，在上单调递减，故的值域为，
所以即，
当时，在上单调递增，故的值域为，不符.
综上所述，实数a的取值范围为.