数学八年级上册2 线段垂直平分线课文内容课件ppt

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我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.我们也可以用逻辑推理的方法证明这一结论.
（一）线段垂直平分线的性质定理
如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上的任意一点，连结PA、PB.求证：PA=PB.
证明：在△APC 和△BPC 中，∵PC=PC，∠PCB=∠PCA，AC=BC,∴△APC≌△BPC（）.∴PA=PB.
已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点.求证：PA=PB.
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
（二）线段垂直平分线的判定定理
上述命题的逆命题应当怎样表述？
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
如果有一点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这一点在这条线段的垂直平分线上.
将其改写成“如果……，那么……”的形式.
命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
已知：如图，QA=QB.求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
证明：设点C为线段AB的中点，连结QC，在△ACQ与△BCQ中，∵QA=QB，AC=BC，QC=QC，∴ △ACQ≌△BCQ，∴∠QCA=∠QCB.又∵∠QCA+∠QCB=180°，∴ ∠QCA=∠QCB=90°.∴QC垂直平分线段AB.∴点Q在线段AB垂直平分线上.
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点.
（三）三角形三边的垂直平分线交于一点
已知：△ABC中，AB的垂直平分线l与AC的垂直平分线n相交于一点O.求证：点O在BC的垂直平分线上.
证明：连结OA、OB、OC.∵O是AB的垂直平分线l上的一点，∴OA=OB.∵O是AC的垂直平分线n上的一点，∴OA=OC.∴OB=OC.∴O在线段BC的垂直平分线上.
1.如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
2.如图，BD⊥AC，垂足为E，AE=CE.求证：AB+CD=AD+BC.
证明：∵BD⊥AC，AE=CE，∴BD是线段AC的垂直平分线.∵B、D在垂直平分线上，∴AD=DC，AB=CB，∴AB+CD=AD+BC.
3.如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD+AD=BC.求证：点D在AC垂直平分线上.
证明：∵BD+AD=BC，BD+DC=BC，∴AD=DC，∴△ADC是等腰三角形，∴点D在AC的垂直平分线上.
会证明线段垂直平分线的性质定理与判断定理.
1.教材第99页习题13.5第2题.
（1）到△ABC三个顶点的距离相等的点的位置是在 （ ）
A.三角形的内部 B.三角形的外部C.三角形的边上 D.以上三种都有可能
（2）如图，线段MN与线段AB交于点O，给出下列条件：①MN=MB，OA=OB； ②MA=MB，NA=NB； ③∠AMO=∠BMO，∠MAO=∠MBO；④∠AMO=∠BMO，∠ANO=∠BNO.其中能说明MN是AB垂直平分线的是 （ ）
A. ①③ B. ②③④ C. ①② D. ①②③④
（3）在等腰直角△ABC中，AB=AC，BC=a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是 .
（4）如图，已知AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，则图中全等的三角形共有 对.
（5）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD是BC边上的高，E是AD上一点，ED=CD，连结EC，EA=EC.求证：BA=BC.