初中数学浙教版七年级下册4.1 因式分解优秀课后练习题

这是一份初中数学浙教版七年级下册4.1 因式分解优秀课后练习题，共20页。试卷主要包含了若多项式可分解为，则的值为，计算的结果为，多项式分解因式，其结果是等内容，欢迎下载使用。

1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若多项式 可因式分解为，则 的值为（ ）
A．-4B．4C．-14D．14
3．若多项式可分解为，则的值为（ ）
A．—2B．—1C．1D．2
4．多项式可因式分解成，其中，，均为整数，的值为（ ）
A．B．C．D．
5．计算的结果为（ ）
A．2021B．20210C．202100D．2021000
6．若多项式分解因式，其中一个因式是，则另一个因式是（ ）
A．B．C．D．
7．在因式分解练习时，小颖做了道题如下，小颖分解不够到位的一题是（ ）
A．B．
C．D．
8．把代数式分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．多项式分解因式，其结果是（ ）
A．B．C．D．
10．下列能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．分解因式结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
13．已知，，是正整数，，且，则等于（ ）．
A．B．或C．1D．1或13
14．对于正整数，若（p-q>0，且，为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定 （如的分解有，，），其中，为12的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是
A．1B．C．D．
15．已知二次三项式分解后有一个因式为，则 ．
16．下列各式从左到右是因式分解的是 ．
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥．
17．如果多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2，则k= ．
18．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则2m﹣n的值为 ．
19．因式分解：a2﹣3a= ．
20．因式分解：= ．
21．因式分解： ．
22．因式分解： ．
23．因式分解：＝ ．
24．分解因式：= ．
25．已知，则 ．
26．一个单项式，加上多项式后等于一个整式的平方，则所有满足条件的单项式有 ．
27．已知a－b=2，ab=1，则的值为 ．
28．已知，则 ．
29．如果多项式分解因式的结果为，则当时可得，此时可把代入中得出．
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
(1)若多项式有一个因式为，求的值；
(2)若，是多项式的两个因式，求、的值．
30．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式．
31．提公因式法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）3x(x-2)-(2-x)；
（6）．
32．计算：
（1）
（2）
33．因式分解：
（1）
（2）
34．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是什么？
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
35．若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”，一定为20的倍数．
(2)若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．C
【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
【详解】A、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，是因式分解，故此选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是正确掌握因式分解的定义．
2．B
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m即可．
【详解】解：
=
=
∵关于x的多项式可因式分解为，
∴m=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，注意：分解因式的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法等．
3．D
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x-2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．
【详解】解：∵（x-2）（x+b）=x2+bx-2x-2b=x2+（b-2）x-2b=x2-ax-1，
∴b-2=-a，-2b=-1，
∴b=0.5，a=1.5，
∴a+b=2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
4．D
【分析】根据已知可得，然后利用多项式乘多项式的法则进行计算，从而可得，，，进而求出的值，进行计算即可解答．
【详解】解：，

，
，，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
5．C
【分析】首先提取公因式，再进行计算即可．
【详解】解：原式＝2021×（32+42+72）
＝2021×（9+42+49）
＝2021×100
＝202100．
故选：C．
【点睛】此题考查的是因式分解的应用及有理数的混合运算，掌握因式分解的方法是解决此题的关键．
6．B
【分析】将多项式因式分解，即可得到结果．
【详解】解：∵
=
∴另一个因式是，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了因式分解，熟练应用提公因式法解题关键．
7．D
【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. ，正确，不符合题意；
B. ，正确，不符合题意；
C. ，正确，不符合题意；
D. ，原式分解错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，在因式分解的过程中，有公因式一定要先提公因式，分解一定要分到不能再分解为止．
8．D
【分析】添加括号，再提公因式a-b即可分解．
【详解】解：
=
=
=
故选：D．
【点睛】本题考查运用提公因式法进行因式分解的能力，正确找到公因式是解此类题的关键．
9．D
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【详解】
故选：D．
【点睛】此题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．B
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：多项式，，都不能用平方差公式进行因式分解，能用平方差公式进行因式分解．
故选B．
【点睛】此题考查了因式分解——运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
11．B
【分析】利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．a3+a2+a=a（a2+a+1），故A不符合题意；
B．4x2-4x+1=（2x-1）2，故B符合题意；
C．-2a2+4a=-2a（a-2），故C不符合题意；
D．x2-3x+1=x（x-3）+1，不是因式分解，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．A
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
13．D
【分析】根据因式分解的分组分解法，，再根据，，是正整数，，即可得出的值．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是正整数，，
∴或13，或1．
故选：D
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式．
14．A
【分析】首先判断出是的最佳分解，再根据新定义逐项判断即可．
【详解】解：，，
∵n为正整数，
∴n≥1，
∴，
∴是的最佳分解，
A、当时，n=n+3，错误，故符合题意；
B、当时，3n=2n+6，∴n=6，可能出现，故不合题意；
C、当时，2n=n+3，∴n=3，可能出现，故不合题意；
D、当时，4n=n+3，∴n=1，可能出现，故不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是根据最佳分解列出方程确定方程有无解．
15．6
【分析】设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设另一个因式为（x+n），
得x2-5x+m=（x-2）（x+n），
则x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n．
∴，
解得．
∴m的值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
16．③④⑥
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．
【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③是因式分解，故符合题意；
④是因式分解，故符合题意；
⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
17．1
【分析】由于原二次三项式有一个一次二项式的因式，进而得出另为一个因式也是一次式，用原二次三项式的二次项除以已知的一次项，得出另一个因数的一次项，常数除以已知因式的常数，得出另一个因式的常数，即可得出结论．
【详解】解：∵多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2，
∵，，
∴另一个因式是(2x+1)，
即6x2-kx-2=(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2，
则k的值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．4
【分析】设另一个因式为x-a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2﹣mx+n，根据各项系数相等列式，计算可得结论．
【详解】解：设另一个因式为x﹣a，
则x2﹣mx+n=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣ax﹣2x+2a=x2﹣（a+2）x+2a，得：
，
∴2m-n=2（a+2）-2a=4，
故答案为4．
【点睛】本题是因式分解的意义，按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．
19．a（a﹣3）
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为a（a﹣3）．
20．
【分析】运用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：原式=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是掌握用提公因式法分解因式．
21．
【分析】每项都含有的字母取最低次幂提出来即提公因式，用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，牢固掌握提公因式法是做出本题的关键．
22．（a-b）（a-b+2）
【分析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．
【详解】解：原式=（a-b）2+2（a-b）=（a-b）（a-b+2），
故答案为：（a-b）（a-b+2）．
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
23．
【分析】可以写成，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
24．(a+3b)(a－3b)(a2+9b2)
【分析】运用两次平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
=(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ．
故答案为：(a+3b)(a－3b)(a2+9b2) ．
【点睛】本题考查运用平方差公式进行因式分解，解题关键是掌握a2-b2=(a+b)(a-b) ．
25．49
【分析】利用方程组两个方程相加得到2x－3x＝7，把利用完全平方公式进行因式分解后，整体代入即可．
【详解】解：
①＋②得，2x－3x＝7，
∴
＝49
【点睛】此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组和完全平方公式法因式分解，整体代入是解题的关键．
26．3x或-5x或或
【分析】这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可．
【详解】解：①，
，
故此单项式为3x或-5x；
②，
故此单项式是，
③，
故此单项式是，
故答案为：3x或-5x或或．
【点睛】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
27．2
【分析】提出公因式，然后代入，即可求解．
【详解】解∶ ∵a－b=2，ab=1，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，提出公因式，把原式变形为是解题的关键．
28．2或
【分析】结合题意，对等式两边同除以y，根据因式分解的性质计算，即可得到答案.
【详解】∵，且，
∴
∴
解得：或，
∴或，
∴或
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法．
29．(1)
(2)，
【分析】（1）把代入得到，求得的值即可；
（2）分别将和代入得到有关、的方程组求得、的值即可．
【详解】（1）解：令，即当时，得：
，
解得：．
∴的值为．
（2）令，即当时，得：
①，
令，即当时，得：
②，
由①，②得：，．
∴的值为，的值为．
【点睛】本题考查因式分解的意义，一元一次方程，二元一次方程组．解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式．
30．
【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x-1）（x-9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x-2）（x-4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．
【详解】解：设原多项式为（其中，，均为常数，且）．
因为，
所以，，
又因为，
所以，
所以原多项式为．
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错．
31．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】（1）提取公因式即可得；
（2）提取公因式即可得；
（3）提取公因式即可得；
（4）提取公因式即可得；
（5）提取公因式即可得；
（6）提取公因式即可得．
【详解】（1）原式；
（2）原式
；
（3）原式；
（4）原式
；
（5）原式
；
（6）原式
．
【点睛】本题考查了利用提取公因式法进行因式分解，掌握提取公因式法是解题关键．
32．(1);(2)
【分析】（1）根据幂的乘方与同底数幂的除法法则进行计算即可；
（2）提取公因式（m﹣2）因式分解即可得解.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式.
【点睛】本题主要考查幂的混合运算，利用提取公因式法化简代数式，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
33．（1）；（2）．
【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．
34．(1)用完全平方公式分解因式
(2)该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式的特点即可得到答案；
（2）观察可知第四步的结果括号内还可以用完全平方公式分解因式；
（3）仿照题意进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是用完全平方公式分解因式；
（2）解：设，
原式



，
∴该同学因式分解的结果不彻底，分解的最后结果为
（3）解：设，
∴
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知用完全平方公式分解因式是解题的关键．
35．(1)见解析
(2)
【分析】（1），，且为整数，即可得出结论；
（2）根据题意得，分别取，2，3，4，5，6时，求出，为正整数时的的值，即可求出最大值．
【详解】（1）证明：设，，且为整数，
∴
∵，且为整数，
∴是正整数，
∴一定是20的倍数；
（2）∵，且，为正整数，
∴，
当时，
，没有满足条件的，，
当时，
，
∴满足条件的有或，
解得或，
∴或，
当时，
，没有满足条件的，，
当时，
，
∴满足条件的有，
解得，
∴，
当时，
，没有满足条件的，，
当时，
，
∴满足条件的有或，
解得或，
∴或，
∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解“好数”和“友好数对”的含义并进行应用是解决本题的关键．