初中数学北师大版九年级上册2 平行线分线段成比例精品课时练习

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知识精讲
知识点01 形状相同的图形
形状相同，大小、位置不一定相同的图形叫做形状相同的图形。一般而言，形状相同的图形就是相似图形。全等图形是一种特殊的形状相同的图形。
注意：
（1）形状相同的图形不受图形的位置与大小的约束。
（2）大小不一定相同是指图形的周长、面积等可以不同。
（3）成旋转对称或成轴对称的两个图形一定是形状相同的图形。
知识点02 两条线段的比
1．两条线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段,的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即，或者写成。其中，线段,分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把表示为比值k，那么或者。
2．比例尺
在地图或工程图纸上，图上的长度与它所表示的实际长度的比通常称为比例尺。比例尺是两条线段的比的一种。
知识点03 成比例线段
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。类似地，还可以得到，分别对应b，a，d，c成比例，c，a，d，b成比例。
注意：
（1）如果，那么b叫做a和c的比例中项；
（2）在比例式a：b=c：d中，b，c称为内项，a，d称为外项，d叫做a，b，c的第四比例项。
（3）在通常情况下，四条线段a，b，c，d的长度单位应该一致，但有时为了方便，也可以a与b的长度单位一致，c与d的长度单位一致。
知识点04 比例的性质
1．基本性质
如果，那么；
如果（a，b，c，d都不等于0），那么。
2．等比性质
如果（），那么。
注意：比例的其他性质
（1）如果（a，c都不等于0），那么。
（2）合比性质：如果，那么或（，都不等于0）。
（3）分比性质：如果，那么或（，都不等于0）。
（4）更比性质：如果（a，c都不等于0），那么或。
3．比例求值的常用方法
（1）用比例的性质求值或等价变形，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常用的解法。
（2）用设参数法求值：对于已知等比条件求值的题目，可先根据比例或设出合适的参数，再用含此参数的代数式表示出相应字母，然后带入求值。
（3）用代入消元法求值：对于已知等比条件求值的题目，可根据已知等式，先用一个字母表示其他字母，再代入所求代数式中并整理，约去这个字母，求出其值。
知识点05 平行线分线段成比例的基本事实
1．基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2．符号语言
,,,
注意：
(1)截得的对应线段是指两直线被一组平行线所截得的线段，在上图中，与是对应线段，与是对应线段。
(2)对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比等于另一条直线上与它们对应的线段的比。
知识点06 平行线分线段成比例的推论
1．推论
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
2．符号语言
如图所示，若，则，，。
能力拓展
考法01 比例线段的有关计算
【典例1】已知线段，，，是成比例线段，，，，那么的值是（ ）
A．1B．1.6C．2D．3
【答案】D
【解析】∵线段a、 b、c、d成比例，
∴ a:b=c:d，
∴
又∵，，，
∴
故选：D
【即学即练】已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则d等于（ ）
A．1cmB．10cmC．cmD．cm
【答案】B
【解析】解：∵线段d是线段a、b、c的第四比例项，
∴a：b＝c：d
∴
∵a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴cm
∴线段a，b，c的第四比例项d是10cm．
故选：B．
【典例2】下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．0.5，3，2，10B．3，4，6，2
C．5，6，15，18D．1.5，4，1.2，5
【答案】C
【解析】解：∵，故选项A中的线段不成比例，不符合题意；
∵，故选项B中的线段不成比例，不符合题意；
∵，故选项C中的线段成比例，符合题意；
∵，故选项D中的线段不成比例，不符合题意，
故选：C
【即学即练】以下列数据（单位：cm）为长度的各组线段中，成比例的是（ ）
A．2、3、4、5B．2、3、4、6C．1、2、3、4D．1、4、9、16
【答案】B
【解析】解：A. 3×4≠2×5，故选项不符合题意；
B. 3×4=6×2，故选项符合题意；
C. 1×4≠2×3，故选项不符合题意；
D. 1×16≠9×4，故选项不符合题意．
故选：B．
考法02 利用比例的性质求值
【典例3】若，则=（ ）
A．3B．-3
C．D．
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【即学即练】已知，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【典例4】如果4a＝5b(ab≠0)，那么下列比例式变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：两边都除以20，得，故A正确；
B、两边都除以20，得，故B错误；
C、两边都除以4b，得，故C错误；
D、两边都除以5a，得，故D错误．
故选：A．
【即学即练】已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设
A，成立，故A不符合题意，
B，不成立，故B符合题意，
C，成立，故C不符合题意，
D，
∴等式两边乘以得：成立，故D不符合题意，
故选：B．
考法03 平行线分线段成比例及其推论
【典例5】如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，，
所以A，D，不正确；C正确．
B中的线段不是对应线段，所以不正确.
故选：C．
【即学即练】如图，，下面等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴，，
∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE；CE•BF=AE•DF．
故选：C．
【典例6】如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，，
四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴可得，
故选：C．
【即学即练】如图，直线，直线分别交于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
故选D．
考法04 平行线分线段成比例及其推论的应用
【典例7】如图，已知ABCDEF，则下列结论正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】C
【解析】解：，
A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B错误，不符合题意；
C、，即，故C正确，符合题意；
D、，即，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【即学即练】如图，，AF交BE于点G，若AC＝CG，AG＝FG，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵AC＝CG，
∴，
故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵AG＝FG，
∴BG＝EG，
∴BE＝2BG，
∵，
∴BG＝2DG，
∴BE＝4DG，
∴，
故B错误，符合题意；
∵，
∴，
∵BG＝2DG，BE＝4DG，
∴DE＝3DG，
∴，
故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵DE＝3DG，
∴EG＝2DG，
∴，
故D正确，不符合题意．
故选：B．
【典例8】如图，在中，点、、分别在，，边上，，，则下列比例式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A．∵EF//AB，
∴，
∴，
故本选项正确；
B．∵EF//AB，∴，故本选项正确；
C．∵DE//BC，
∴，
∵EF//AB，
∴DE=BF，
∴，
∴，
故本选项正确；
D．∵EF//AB，
∴，
∵CF≠DE，
∴，
故本选项错误；
故选：D．
【即学即练】如图，在中，D是AB边上一点，DE∥BC，DF∥AC，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、由已知有，所以错误；
B、由已知有，所以错误；
C、由已知有，所以正确；
D、由已知有，所以错误．
故选C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100kmB．2000mC．10kmD．20km
【答案】B
【解析】解：2÷=200000（cm）=2（km），
答：甲、乙两地的实际距离是2000m．
故选：B．
2．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：，
，
．
故选：A．
3．1、若，则分式 的值为（ ）
A．2B．0C．-1D．1
【答案】D
【解析】解：设，
∴x=2k，y=5k，z=7k，
∴==1
故选：D.
4．如图，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
5．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为（ ）
A．9B．6C．3D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴根据平行线分线段成比例定理可得，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
6．如图，点，分别在，上，，，若，则的长为（ ）
A．10B．15C．16D．18
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
即
∴EC=10
∴AC=AE+EC=16．
故选：C．
7．已知，且a+b＝24．则a为__________．
【答案】9
【解析】解：设，
∴a=3k，b=5k，
∵a+b=24，
∴3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=9，
故答案为：9．
8．如图，△ABC中，DEBC，G为BC上一点，连结 AG交DE于点F，若 AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝________．
【答案】7.5
【解析】解：∵DEBC，
∴，
∵AE＝AC－EC＝AC－5，AF＝2，AG＝6，
∴，
解得AC＝7.5
故答案为：7.5
9．已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．
【答案】18
【解析】解：设，则x=2k，y=3k，z=4k，
∵2x+3y-z=18，
∴4k+9k-4k=18，
∴k=2，
∴x=4，y=6，z=8，
∴x+y+z=4+6+8=18．
10．如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB．
【答案】见解析
【解析】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BFCD，
∴＝，
∵FGBE，
∴GFAD，
∴＝，
∴＝，且AD＝CD，
∴GF＝BF．
题组B 能力提升练
1．下面的四个数中能组成比例的是（ ）
A．、、0.6和0.3B．20、14、4和5
C．3、4、和D．6、10、9和15
【答案】D
【解析】解：A、因为：0.3≠0.6：，所以A选项不符合题意；
B、因为4：5≠14：20，所以B选项不符合题意；
C、因为：≠3：4，所以C选项不符合题意；
D、因为6：9＝10：15，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．已知点C是线段AB的黄金分割点，且，若AB＝2，则BC＝（ ）
A．B．C．－1D．
【答案】A
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=2，
∴，
∴BC=AB-AC=3-，
故选：A．
3．如果，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴b=4a，
∴= ，
故选：C．
4．如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，DE＝1.2，BC=2，则EF的长为（ ）
A．2.4B．3.6C．4D．0.6
【答案】A
【解析】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB=1，DE=1.2，BC=2，
∴，
解得：EF=2.4，
故选：A．
5．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，交AD于点M，若OM＝3，OB＝4，则BC的长为（ ）
A．5B．C．8D．10
【答案】B
【解析】根据矩形的性质可知AD=BC，∠ABC=∠D=90°，
∵O点为AC中点，
∴在Rt△ABC中，有BO=AC=AO=OC，
∵BO=4，
∴AC=8，OA=OC=4，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt△ADC中，利用勾股定理有，，
∴AD=BC=，
故选：B．
6．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与直线l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF的长为( )
A．2.4B．4C． D．
【答案】A
【解析】解：由题意得：AB∶BC=DE∶EF，
∴2∶3=1.6∶EF，
∴EF=3×1.6÷2=2.4，
故选： A．
7．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置（如图所示），若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长约为 _____米．（倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号）
【答案】3
【解析】解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为x，
∴xx＝2，解得x3，
即该车车身总长为（3）米．
故答案为：3．
8．如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝5，则BC＝______．
【答案】
【解析】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，DE＝3，EF＝5，
∴，
解得：BC＝，
故答案为：．
9．（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．
【答案】(1)4
(2)
【解析】(1)解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝，
∴BD＝BC－CD＝，
∵DE∥CA，
∴，
∴DE＝4；
(2)解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴＝．
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
∴＝，＝．
∴＝．
∵BD＝4， BC＝6， DF＝AG，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（精确到0.01．参考数据：，，）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设雕像的下部高为xm，则上部长为，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴．
故选B．
2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（ ）
A．S1＝4S2B．S4＝3S2C．S1＝S3D．S3＝S4
【答案】C
【解析】解：设AB＝a．
∵E是AB的黄金分割点，AE＞EB，
∴AD＝AEa，BE＝BC＝a（1）a，
∴S△ADE•（a）2a2，S△ABCaaa2，
∴S△ADE＝S△ABC，
即S1+S2＝S2+S3，
∴S1＝S3，
故选：C．
3．已知代数式，，，下列结论：
①若，则；
②若，且z为方程的一个实根，则；
③若x，y，z为正整数，且，则；
④若，则；
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】解：①若x:y:z=1:2:3，
设x=a；y=2a；z=3a；
∴A=；B=；C=；
∴，故①正确；
②若x=y=1，
则A=，B=，C=，
∴，
∵z为方程的一个实数根，
∴z≠0，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
若xyz为正整数，则
，
，
，
∵x>y>z，
∴，
∴，
即，
∴A>B>C，故③正确；
若A=B=C，即，
当x+y+z≠0时，
；
当x+y+z=0时，
,
综上A=或1，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
4．如图，已知AB∥CD∥EF，AC＝6，CE＝2，BD＝4，则DF的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC=6，CE=2，BD=4，
∴ 即，解得DF=．
故选：B．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，
∵，

∴OE是△ABD的中位线，
∴AB=2OE，AD=2AE，
∵△AOE的周长等于5，
∴OA+AE+OE=5，
∴AE+OE=5-OA=5-1=4，
∴AB+AD=2AE+2OE=8，
∴▱ABCD的周长=2×（AB+AD）=2×8=16；
故选D．
6．如图，已知的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且，，连结OE．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
DE平分∠ADC，
，
是等边三角形，
，
，
，
又，
，
；
故①②正确；
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
故③正确；
设，则，，
，
由勾股定理得，，
故④不正确；
，
，
，
，
故⑤正确；
综上，正确的有①②③⑤；
故选：C．
7．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于______．
【答案】2
【解析】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴舍去，
故答案为：2．
8．如图，△ABC中，点DE分别在边BA，CA的延长线上；且DEBC，若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则BD＝_____．
【答案】9
【解析】解：∵，
∴，
∵AE=2，AC=4，AD=3，
∴，
解得：AB=6， 经检验符合题意；
∴BD=AD+AB=6+3=9，
故答案为：9．
9．已知线段a、b、c满足且．
(1)求线段a、b、c的长；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】(1)解：设，则，，，
，
，
解得，
则，，．
(2)解：线段是线段、的比例中项，且，，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
即线段的长为．
10．如图，在△ABC中，EFCD，DEBC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
【答案】（1）见详解；（2）．
【解析】解：（1）证明：∵EFCD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB，
∴AF：FD＝AD：DB；
（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，
∴，
∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD=2:1，
∴
课程标准
1.认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形；
2.了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；
3.理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题；
4.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论；
5.能熟练运用平行线分线段成比例的基本事实及其推论解决相关问题。