初中数学19．9 勾股定理精品学案

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勾股定理及两点间的距离公式

内容分析





本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．
知识结构





模块一：勾股定理的证明及应用


知识精讲




1、 勾股定理：
（1） 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；
（2） 应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．


例题解析



【例1】 （1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；
（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．
【难度】★
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；
（2） 设，则由勾股定理可得：，解得：，
∴．
【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．



【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；
（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为，则三角形的面积为；
（2） 作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为
【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．




【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；
（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；
（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．
【难度】★★
【答案】（1）5或；（2）；（3）．
【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边；
（2） 由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为；
（3） ∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2，
作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：
底边上的高为，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为．
【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．



【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；
（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．
【难度】★★
【答案】（1）2；（2）24．
【解析】（1）由题意有：，解：（负值舍去）；
（2）可设直角三角形的三边长分别为N-2，N，N+2
∴，∴
∴三角形的周长为
【总结】考察勾股定理的应用．


A
B
C
D
【例5】 如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D是斜边AB的中点，BC=2，求△ADC的周长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，
∴．
∵∠B=60°，∴△BDC是等边三角形，∴．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴．
∵，∴．∵∠ACB=90°，BC=2，，
∴，∴
【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．
A
B
C
D
【例6】 如图，已知：R△ABC中，∠ACB是直角，BC=15，AB比AC大9，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
∵，∴，解得：
∴由等面积法可知：．
【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．


【例7】 已知已直角三角形的周长为，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．
∵直角三角形的周长为，∴两直角边之和为．
∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，
∴设两直角边分别为，则有，解得：，
∴直角三角形的面积为．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．



A
B
C
MM
N
DM
EM
【例8】 如图，直线MN是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C，朝正北方向走了400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路，
请你求出这条小路的长（结果保留根号）．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据垂线段最短，过C作垂线的垂线段是最短的．
过C作CD⊥MN，垂足为D，过B作BE⊥AC，垂足为E．
由题意可知：，，∴．
在Rt△ABE中，，，∴．
∴由勾股定理可得：
在Rt△CBE中，，，∴
∴
在Rt△ACD中，，，
∴．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．



A
P
Q
M
N
B
【例9】 如图，公路MN和公里PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?
【难度】★★
【答案】24秒．
【解析】过A做AB⊥MN，垂足为B．
在Rt△ABP中，∠QPN=30°，，
∴
∵80