高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品达标测试

4.3对数同步训练

一、选择题（共10题，第10题为多选）

1. 计算： 

 A．  B．  C．  D．

2. 计算： 

 A．  B．  C．  D．

3. 若 ， 是方程 的两个根，则 的值等于

 A． B． C． D．

4. 已知 ， 是方程 的两个根，则 的值是

 A．  B．  C．  D．

5. 设 ，， 为正数，且 ，则

 A．  B．  C．  D．

6. 若 ，，则  

 A．  B．  C．  D．

7. 计算  

 A．  B．  C．  D．

8. 已知 ，，则 的值为

 A．  B．  C．  D．

9. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 ．已知两次地震里氏震级分别为 级和 级，若它们释放的能量分别为 和 ，则 的值所在的区间为

 A．  B．  C．  D．

10. （多选）设 ，， 都是正数，且 ，那么

 A．  B．  C．  D．

二、填空题（共5题）

11. 若 ，则     ．
12. 已知 ．若 ，，则     ，     ．
13. 已知函数 ，则     ．
14. 若 ，，，则     ．
15.   年 月，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字 的素数个数大约可以表示为 的结论．若根据欧拉得出的结论，估计 以内的素数个数为    （素数即质数，，计算结果取整数）

三、解答题（共5题）

16. 解答下列问题．

(1)  计算：；(2)  设 ，求 的值．

17. 请回答下列问题：

(1)  已知 ，，用 ， 表示 ；

(2)  解方程：．

18. 若 ， 是方程 的两个实数根，求 的值．

19. 已知函数 ．

(1)  判断 的奇偶性；(2)  若 ，，求 ， 的值．

20. 计算：

(1)   ．(2)   ．

答案

一、选择题（共10题）

1.  【答案】D

【解析】 ．

2.  【答案】D

【解析】 ．

3.  【答案】A

【解析】由根与系数的关系，

得 ，，

所以

4.  【答案】B

【解析】因为 ， 是方程 的两个根，，

所以结合根与系数的关系得 ，，

所以

5.  【答案】D

【解析】解法一（特值法）：

令 ，则由已知条件可得 ，，

所以 ，，

从而 ，，

则 ．

解法二（数形结合法）：

由 ，可设 ，

因为 ，， 为正数，

所以 ，

因为 ，，

所以 ；

因为 ，，

所以 ，

所以 ．

分别作出 ，， 的图象及直线 ，如图，

则 ．

解法三（作商法）：

由 ，同时取自然对数，得 ．

由 ，可得 ；

由 ，可得 ，

所以 ．

6.  【答案】D

【解析】 ．

7.  【答案】C

【解析】 ．

故选C．

8.  【答案】C

【解析】因为 ，

所以 ，

所以 ．

9.  【答案】B

10.  【答案】A；D

【解析】由题意，设 ，则 ，，，

对于选项A，由 ，可得 ，因为 ，故A正确，B错误；

对于选项C，，，故 ，故C错误；

对于选项D，，，故 ，即D正确．

二、填空题（共5题）

11.  【答案】

【解析】解法一：，取以 为底的对数，得 ，

所以 ，，即 ，

故 ．

解法二：因为 ，

所以 ，，

所以 ．

12.  【答案】 ；

【解析】令 ，因为 ，所以 ，

由 得 ，

解得 或 （舍去），即 ，所以 ，

又因为 ，所以 ，即 ，即 ，

解得 ，所以 ．

13.  【答案】

14.  【答案】

【解析】因为 ，所以 ，

同理 ，．

所以 ．

15.  【答案】

【解析】由题可知小于数字 的素数个数大约可以表示为 ，则 以内的素数的个数为

三、解答题（共5题）

16.  【答案】

(1)  

(2)  依题意得 ，，

所以 ．

17.  【答案】

(1)  因为 ，

所以 ，

所以

(2)   ，

移项并整理得

 ，

所以 ，

解得 或 ，经检验 为所求．

18.  【答案】原方程可变形为 ，

因为 ， 是方程 的两个实数根，

所以 ，，

所以

19.  【答案】

(1)   的定义域为 ，，

故 是奇函数．

(2)  由 ，得 ．

又 ，即 ．

由 解得

20.  【答案】

(1)   ．

(2)