北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系习题

*5　一元二次方程的根与系数的关系

　如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则x1+x2=　-　,x1x2= 　. 

1.根与系数关系使用的前提

(1)是一元二次方程,即a≠0.　　　　(2)方程为一般形式.即形如ax2+bx+c=0.

(3)判别式大于等于零,即b2-4ac≥0.

2.+ = (x1+x2)2-2x1·x2.　　　　+=.

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2. |x1-x2|==.

1.(2021·甘肃白银期末)一元二次方程x2-3x=4的两根分别为x1和x2,则x1x2为 (D)

A.3   B.-3   C.4   D.-4

2.(2021·新疆哈密模拟)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1,则nm的值为              (C)

A.-8   B.8   C.16   D.-16

3.(2021·内蒙古包头模拟)已知一元二次方程x2-2x-1=0的两根分别为x1,x2,则+的值为              (D)

A.2   B.-1   C.-   D.-2

4.(2021·宁夏吴忠模拟)关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是              (D)

A.m=0,n=0  B.m≠0,n≠0  C.m≠0,n=0  D.m=0,n≠0

5.(2021·甘肃定西期末)已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是x=2,则另外一个根为　-1　. 

6.已知一元二次方程x2-3x-4=0的两根是m,n,则m2+n2=　17　. 

7.(2021·青海海东质检)已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是　x=-2　. 

8.已知a=4,b,c是方程x2-8x+15=0的两个根,则以a,b,c为三边长的三角形面积是　6　. 

9.(2021·宁夏中卫模拟)设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:

(1)(x1-x2)2.　　　　　　　(2).

【解析】根据根与系数的关系可得:x1+x2=-2,x1·x2=-.

(1)(x1-x2)2=+-2x1x2=++2x1x2-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×=

10.

(2)=x1x2+1+1+=+2+ =-.

10.(2021·甘肃金昌期中)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有两个实数根.

(1)求m的取值范围;

(2)设x1,x2是方程的两根,且+=12,求m的值.

【解析】(1)根据题意得Δ=(2m)2-4(m2+m)≥0,解得m≤0;

(2)根据题意得x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,

∵+=12,

∴(x1+x2)2-2x1x2=12,

∴(-2m)2-2(m2+m)=12,

解得m1=-2,m2=3(不合题意,舍去).

故m的值是-2.

1.(2021·甘肃庆阳模拟)若m,n是方程x2+2 019x-2 020=0的两个实数根,则m+n-mn的值为              (C)

A.-4 039   B.-1   C.1   D.4 039

2.(2021·甘肃天水质检)若x1+x2=3,+=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是              (A)

A.x2-3x+2=0   B.x2+3x-2=0

C.x2+3x+2=0   D.x2-3x-2=0

3.若方程x2-4x+1=0的两根是x1,x2,则x1(1+x2)+x2的值为　5　. 

4.(2021·内蒙古呼和浩特模拟)已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.

(1)求实数k的取值范围.

(2)若x1,x2满足+=16+x1x2,求实数k的值.

【解析】(1)∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,

∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,

解得:k≤,

∴实数k的取值范围为k≤.

(2)∵关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,

∴x1+x2=1-2k,x1·x2=k2-1.

∵+=(x1+x2)2-2x1·x2=16+x1·x2,

∴(1-2k)2-2×(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,

解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).

∴实数k的值为-2.

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