第04讲 绝对值-七年级数学上册同步精品讲义（华师大版）

第4讲 绝对值

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1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
知识精讲


知识点01 绝对值
定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
考点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：



（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
【即学即练1】
如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【总结】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．
【即学即练2】
如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ；
如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ．
【答案】6或-6；1或3；或
【即学即练3】
求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．
【答案】
方法1：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
方法2：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0
因为，所以
【总结】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．
知识点02 绝对值的非负性
若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
【即学即练】
已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3． 　　
【答案】
解：因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【解析】由｜a｜≥0即绝对值的非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．
【总结】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
知识点03 绝对值的实际应用
正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．
【总结】绝对值越小，越接近标准．

能力拓展


考法01 绝对值
如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【思路】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【答案】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【总结】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．

考法02 绝对值的化简

已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：
　　　　　
化简：
【答案】由图所示，可得．
　　　　∴ ，，，
　　　　∵
　　　　　 ．
　　　　∴ 原式．

考法03 绝对值得非负性
已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．
【答案】由，，，
可得 ∴
【总结】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．
考法04 绝对值的应用
一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【思路】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
答：小虫一共可以得到108粒芝麻．
【总结】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.

分层提分


题组A 基础过关练
1．下列判断中，正确的是( )．
A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C．任何数的绝对值都是正数；
D．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数．
【答案】B
【解析】A错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相反数；B正确；C错误，因为0的绝对值是0，而0不是正数；D错误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0．
2.已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（　　）

A．M B．N C．P D．Q
【答案】D
【解析】解：∵点Q到原点的距离最远，
∴点Q的绝对值最大．
故选：D．
3．若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．

A．a＞b B．|a|＞|b| C．-a＜-b D．-a＜|b|
【答案】B
【解析】离原点越远的数的绝对值越大．

题组B 能力提升练
1．满足|x|＝-x的数有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．
2．已知，则a的值是( )．
A．3 B．-3 C． D．或
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴
3．下列推理：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C．
4．如果a与1互为相反数，则|a+2|等于________．
【答案】1
【解析】∵a与1互为相反数，∴a=﹣1，把a=﹣1代入|a+2|得，|a+2|=|﹣1+2|=1．
5．已知|x|＝2，|y|＝5，且x＞y，则x＝________，y＝________．
【答案】 ±2，-5
【解析】| x |＝2，则x=±2； | y |＝5， y=±5．但由于x＞y，所以x=±2，y=-5
6．数a在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．


【答案】a-2
【解析】由图可知：a≥2，所以|a-2|=a-2．
7．在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．
【答案】-3，1
8．已知，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】将看成整体，即，则，故，．
9．如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2021|=　 ．
【答案】2021.
【解析】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n=0，
∴|m+n﹣2021|=|﹣2021|=2021；
故答案为2021．
10．若，则 0；若，则 ．
【答案】＜；任意数.


题组C 培优拔尖练
1．（娄底期末）若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．
【解析】
∵|x|=5，
∴x=±5，
又|y|=2，
∴y=±2，
又∵|x+y|=x+y，
∴x+y≥0，
∴x=5，y=±2，
当x=5，y=2时，x﹣y=5﹣2=3，
当x=5，y=﹣2时，x﹣y=5﹣（﹣2）=7．
2．（桐柏县期末）若|a+1.2|+|b﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b等于多少？
【解析】
解：∵|a+1.2|+|b﹣1|=0，
∴a+1.2=0，b﹣1=0，
∴a=﹣1.2，b=1，
∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．
3．阅读下面的材料：
　　点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时:
　　　　　
　　①如图1-1-2，点A、B都在原点的右边:
　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
　　②如图1-1-3，点A、B都在原点的左边:
　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
　　③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:
　　　∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
　　综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　
　回答下列问题:
　　①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
　　②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
　　③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．
【解析】①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．
　　　　　 ②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．
　　 　　　　　∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，
　　 　　　　　∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．
　　 　 　③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．
　　 　　　　　将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，
　　 　　　　　则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．
　　 　　　　　当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；
　　 　　　　　当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;
　　 　　　　　当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．
　　 　　　　　∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．