2023年中考数学 章节专项练习38 相似、位似及其应用

这是一份2023年中考数学 章节专项练习38 相似、位似及其应用，共32页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1. (2019山东枣庄,12,3分)如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D等于（ ）
A.2 B.3 C.4 D.

第12题图
【答案】B
【思路分析】根据平移得到相似,由相似三角形面积比等于相似比的平方,得到相似比,进而得到两中线的比,求出A'D的长
【解题过程】由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为k,∵S△ABC＝16,S△A'MN＝9,∴k2＝16:9,∴k＝4:3,因为AD和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D＝k＝4:3,∵AD＝AA'+A'D,∴AA':A'D＝1:3,∵AA'＝1,则A'D＝3,故选B

第12题答图
【知识点】图形的平移,相似三角形的性质

2.（2019山东淄博，8，4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B. 若△ADC的面积为，则△ABD的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C.
【思路分析】在△BAC和△ADC中，∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，则△BAC∽△ADC，根据相似三角形的性质求出△ABC的面积，进而求出△ABD的面积.
【解题过程】在△BAC和△ADC中，∵∠C是公共角，∠CAD＝∠B.，∴△BAC∽△ADC，∴,
∴，又∵△ADC的面积为，∴△ABC的面积为，∴△ABD的面积为.
【知识点】相似三角形的判定和性质

3. (2019四川巴中,8,4分)如图ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD＝1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG＝( )
A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9

第8题图
【答案】D
【解析】因为DE:AD＝1:3,F为BC中点,所以DE:CF＝2:3,ABCD中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比为2:3,所以S△DEG:S△CFG＝4:9.故选D.
【知识点】相似三角形,相似比

4.（2019四川乐山，8，3分）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
第8题图

【答案】A
【思路分析】先根据正方形性质与相似三角形的判定与性质求得DH的长，再求得阴影部分面积.

第8题答图
【解题过程】∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ADH∽△ECF，∴，∴，解得DH=，∴阴影部分面积为××1=，故选A.
【知识点】正方形性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积


5.（2019四川乐山，9，3分）如图，在边长为的菱形中，，过点作于点，现将△沿直线翻折至△的位置，与交于点.则等于（　　）
A． B．C．D．

第9题图
【答案】A
【思路分析】先根据菱形性质以及锐角三角函数求BE、EF、CF、DC，再利用相似三角形求CG的长.
【解题过程】∵，∴∠AEB=90°，菱形的边长为，，∴AE=AB=，
BE=CF==1.5，BF=3，CF=BF-BC=3-，∵AD∥CF，∴△AGD∽△FGC，∴，∴，解得CG=，故选A.
【知识点】菱形性质；锐角三角函数；相似三角形的判定与性质；轴对称性质

6.（2019四川凉山，10，4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC = 1∶2，O是BD的中点，连接A0并延长交BC 于 E，则BE∶EC=（ ）
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3
【答案】B
【思路分析】过点D作DF∥AE，利用平行线分线段成比例定理求BE∶EF,EF∶FC，再求BE∶EC.
【解题过程】过点D作DF∥AE，则,，∴BE∶EF∶FC=1∶1∶2，∴BE∶EC=1∶3.故选B.

【知识点】平行线分线段成比例定理

7.（2019四川眉山，9，3分）如图，一束光线从点A（4，4）出发，经y轴上的点C反射后，经过点B（1，0），则点C的坐标是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，2）

【答案】B
【思路分析】过点A作AD⊥y轴于点D，利用△OBA∽△DAC，求出OC的长即可.
【解题过程】解：过点A作AD⊥y轴于点D，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO，∴△OBA∽△DAC，∴，∴，解得：OC=，∴点C（0，），故选B.

【知识点】相似三角形的性质和判定

8.（2019四川眉山，12，3分）如图，在菱形ABCD中已知AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF，②∠EAB=∠CEF；③△ABE∽△EFC，④若∠BAE=15°，则点F到BC的距离为，则其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个

【答案】B
【思路分析】连接AC，易得△ABC是等边三角形，利用△ABE≌△ACF，可得BE=CF；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，进而可得△AEF是等边三角形，进而可得∠EAB=∠CEF；求出△ABE和△EFC的角的度数，即可判断；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题.
【解题过程】解：连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，故①正确；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB，故②正确；在△ABE中，∠AEB＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，
∴BG=AB=2，AG=BG=，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，
∴EB=EG-BG=-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°
在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=-2，
在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=-2，∴FH=CF•sin60°=（-2）•=3-.
∴点F到BC的距离为3-.故④错误.故选B.

【知识点】菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，锐角三角形函数

9.（2019重庆市B卷，3，4）下列命题是真命题的是（　　　　）
　A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3
　B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9
　C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3
　D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9
【答案】Ｂ
【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选Ｂ．
【知识点】真命题，假命题，相似比

10.（2019重庆A卷，3，4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第3题图

【答案】C．
【解析】∵△ABO∽△CDO，∴．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴．∴AB＝4．故选C．
【知识点】图形的相似；相似三角形的性质
11.（2019安徽省，7，4分）如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点．若，则的长为　　

A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【答案】B
【解析】解：作交于点，则，
∴，
∵，，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
，
∴，即，解得，，
∴，
故选B．

【知识点】相似三角形的判定与性质

12.（2019四川南充，8，4分）已知△，，，则　　
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】解：△，．故选：B．
【知识点】相似三角形的性质

13.（2019甘肃武威，5，3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于　　

A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B.
【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选B．
【知识点】几何变换

14.（2019广东广州，7，3分）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．EH＝HG B．四边形EFGH是平行四边形
C．AC⊥BD D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
【答案】B
【解析】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，
∴EHAD＝2，HGAB＝1，
∴EH≠HG，故选项A错误；
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
∴EH，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；
∵点E、F分别为OA和OB的中点，
∴EF，EF∥AB，
∴△OEF∽△OAB，
∴，
即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，
故选：B．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质

15.（2019广东省，10，3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，
∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD＝4，AH＝2，
∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，
∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；
∴∠AHN＝∠HFG，
∵AG＝FG＝2＝AH，
∴AFFGAH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；
∵△ANH≌△GNF，
∴ANAG＝1，
∵GM＝BC＝4，
∴2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN＝∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK＝∠AMG，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴AK＝HK，
∴AK＝HK＝NK，
∵FN＝HN，
∴FN＝2NK；故③正确；
∵延长FG交DC于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM＝AG＝2，
∵S△AFNAN•FG2×1＝1，S△ADMAD•DM4×2＝4，
∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，
故选：C．

【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质

16.（2019贵州黔东南，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（　　）

A．200cm2 B．170cm2 C．150cm2 D．100cm2
【答案】D
【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB3x，
∴3x＝30，解得x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积612（4）2＝100（cm2）．
故选：D．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用

二、填空题
1.（2019山东滨州，16，5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．
【答案】（－1，2）或（1，－2）
【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×，4×）或（－2×（－），4×（－）），即（－1，2）或（1，－2）．
【知识点】位似

2.（2019山东滨州，19，5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④
【思路分析】由平行四边形的性质求出∠BCD的度数，再由角平分线的定义得出∠BCE的度数，进而得出△BCE是等边三角形，再由AB=2BC，得出△ACE是等腰三角形，可得△ABC为直角三角形，由中位线定理得出OE⊥AC，故①正确；或由等腰三角形的性质得出OE⊥AC；由中位线定理得出OF：BF=1：2，则S△AOD=S△BOC=3S△OCF，可得②错误；利用锐角三角函数或勾股定理得出AC与BC的关系，再用勾股定理得出OB与BC的关系，可得AC：BD=：7，故③正确；由OF：BF=1：2，将BF和DF都化成OF，可得④正确．
【解题过程】在ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在ABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正确；∵OE是△ACB的中位线，∴OE=BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴AC=BC，∴OC=BC．在Rt△BCO中，OB==，∴BD=BC，∴AC：BD=BC：BC =：7，故③正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确．
【知识点】角平分线的定义；平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；中位线定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数

3.（2019四川省凉山市，16，4）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分， 连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲.
【答案】4：25或9∶25
【思路分析】分AE∶DE=2∶3与AE∶DE=3∶2两种情况讨论，借助相似三角形的性质求出面积比.
【解题过程】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.

（第16题图答图1） （第16题图答图2）
【知识点】三角形相似的判定与性质；分类讨论思想

17．（2019四川省凉山市，17，4）将抛物线y=(x-3)2-2向左平移个单位后经过点A(2，2)．
【答案】3
【思路分析】先假设平移后抛物线解析式，再代入A(2，2)求参数m.
【解题过程】设抛物线向左平移m个单位，则平移后的解析式为y=（x-3+m）2-2，将A（2，2）代入，有2=（2-3+m）2-2，解得：m1=-1（舍去），m2=3，∴m=3.故答案为3.
【知识点】抛物线的平移规律；待定系数法

4. （2019四川省自贡市，17，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE=.

【答案】.
【解题过程】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AB∥CD,
∴∠D=∠ABD,
∴∠CBD=∠D，
∴CD=BD=6.
在Rt△ABC中，AC==8.
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴,
∴CE=AE，DE=BE.
即CE=AC=×8=3.
在Rt△BCE中，BE=.
∴DE=BE=×3=.

【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质

5.（2019浙江省衢州市，16，4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为。
（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7“字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推，……摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1……则顶点F2019的坐标为。

【答案】（1） （2）（，405）
【思路分析】（1）根据图形分析△CDB与△OBA相似，根据相似三角形的性质计算OB：OA的值；
（2）连接CA,作FM⊥x轴于M，作CH⊥y轴于H，作CN⊥FM于N，根据△MAF与△OBA相似，△DCH与△BAO全等，根据勾股定理求得FN的值，从而求得点F的坐标，进而推得F1，F2，……F2019的坐标。
【解题过程】（1）因为∠DBC+∠BDC=90°，∠DBC+∠OBA=90°,∠DCB=∠BOA=90°,所以∠BDC=∠OBA，所以△CDB∽△OBA，所以OB:OA=CD:CB=.
（2）因为OB:OA=1:2,AB=1,由勾股定理得OB=,OA=.因为∠CDH=∠ABO，∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB,所以△DHC≌△BOA,所以四边形OACH为矩形，DH=,HC=,同理△MAF∽△OBA，由AF=3得，AM=，FM=,在直角三角形NCF中，CN=AM=,CF=,NF==,在直角三角形ABC中，AC=,F点的坐标为（+，+）;根据规律F1比F的横坐标增加单位、纵坐标增加，F，F1点的坐标为（+×2，+×2）;F2比F1的横坐标增加单位，纵坐标增加单位，F2点的坐标为（+×3，+×3）; ……所以F2019的坐标为（+×2020，+×2020），即（，405）。
【知识点】图形变换相似三角形的判定和性质勾股定理数字与图形规律探究


6.（2019广东广州，16，3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．
其中正确的结论是　　．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①④
【解析】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．

∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EHBE，∵AFBE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），

∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AFx，
∴S△AEF•（a﹣x）×xx2ax（x2﹣axa2a2）（xa）2a2，
∵0，
∴xa时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
故答案为①④．
【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
三、解答题
1.（2019重庆市B卷，25，10）在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
（1）如图1，若∠D=30°，AB=，求△ABE的面积；
（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF，
求证：ED－AG=FC.

【思路分析】（1）过点E作EN⊥AB，交BA延长线于点N，先利用平行四边形及角平分线相关性质，求得特殊角及AE的值，再在Rt△ANE中，利用特殊角三角函数值，求出NE的长，最后根据三角形的面积公式，得到△ABE的面积；
（2）延长BE交CD延长线于点M，设，，，，根据AB∥CD，推得；再在Rt△ADF中，利用勾股定理推得，计算并进行相关字母的代换运算即可得出所求证的结论．
【解题过程】解：（1）过点E作EN⊥AB，交BA延长线于点N，垂足为N，
在□ABCD中，AD∥BC，AD∥CB，∠D=∠ABC=30°，∴∠ABC=∠EAN=30°；
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE=；
在Rt△AEN中，，，∴．
（2）延长BE交CD延长线于点M，设，，，，
∴在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且CD=，
∵AB=AF，∴AF=，∴GF=，
∵AB∥CD，∴∠ABM=∠M，∠CBE=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBE，∴∠ABM=∠AEB，∴AE=；
∵∠AEB=∠DEM，∴∠DEM=∠M，∴DM=，∴FM=，
∵AB∥CD，∴，∴，解得：；
∵AF⊥DC，∴∠F=90°，∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴AG+CF=
，∴DE-AG=CF.
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质；平行四边形；相似三角形；角平分线性质

2.(2019浙江台州,24题,14分)如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP＝FD.
(1)求的值;
(2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM＝EB,连接MF,求证:MF＝PF;
(3)如图2,过点E作EN⊥CD于点N,在线段EN上取一点Q,使AQ＝AP,连接BQ,BN,将△AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q'落在AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上,并说明理由.

第24题图
【思路分析】(1)通过相似构造等量解得对应线段AF与FD的长度,来求解它们之间的比例;(2)通过连接PD,构造全等转化∠3与∠1相等,再利用第一问求得的AP的长度得到EP＝EC,从而得到∠1＝∠4,故转化∠3＝∠4,从而证明△PFD≌△FMC;(3)构造三角形,通过证明相似,求得对应线段长度,进行比较,从而得到结论.
【解题过程】(1)设AP＝x,则FD＝x,AF＝2－x,∵在正方形ABCD中,AB∥CD,∴△PAF∽△CDF,∴,∴,∴,∴解得,∵x＞0,∴,∴
(2)连接DP,∵PA＝DF,∠PAD＝∠ADC,AD＝CD,∴△PAD≌△FDC,∴∠3＝∠2,PD＝FC,又∵AB∥CD,∴∠1＝∠2,又∵EC＝,EB＝EM＝1,∴MC＝＝FD＝AP,∴PE＝PA+AE＝+1＝＝EC,∴∠1＝∠4,∴∠4＝∠3,又∵FD＝MC,PD＝FC,∴△PFD≌△FMC,∴PF＝FM

第24题答图(1)
(3)如图2,在AD上取一点Q',使AQ'＝AQ,在BN上取一点B',使AB'＝AB,连接B'Q',作B'G⊥AD于点G,交EN于点K,∵tan∠NBE＝2,AB＝AB'＝2,∴BB'＝,B'N＝BN＝BB'＝,∵△NB'K∽△NBE,∴B'K＝,KN＝,∴B'G＝,DG＝,∴Q'G＝3－－＝－,在Rt△B'GQ'中,∠B'GQ'＝90°,利用勾股定理可得B'Q'＝,而,∴B'Q'≠BQ,∴点B'不在BN上.

第24题答图(2)
【知识点】相似三角形,一元二次方程,全等三角形,平行线,勾股定理

3.（2019浙江省衢州市，24，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6.∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F,G.
（1）求CD的长。
（2）若点M是线段AD的中点，求的值。
（3）请问当DM的长满是什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？

【思路分析】（1）根据三角函数求得DC;
（2）证明△DFM≌△AGM，再利用△BFE∽△BGA由相似三角形相似比求得的值；
（3）根据∠CPG=60°，过C,P,G作外接圆，圆心为Q，△CQG是顶角为120°的等腰三角形，根据⊙Q与DE相切，经过点E，经过点D三种情况分别求得DM的长。
【解题过程】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠0AC=∠BAC=30°。…2分
在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2，……4分
（2）易得，BC=6，BD=4.……5分
由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM.
∵AM=DM，
∴△DFM≌△AGM，
∴DF=AG.
由DE∥AC.得△BFE∽△BGA，
∴==,…7分
∴====,…8分
(3）∵∠CPG=60°，过C,P,G作外接圆，圆心为Q
∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。
①当⊙Q与DE相切时，如图1，过Q点作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连接QC，QG。
设⊙Q的半径QP=r，则QH=r，r+r=2，解得r=，
∴CG=×=4,AG=2.
易知△DFM∽△AGM，可得==,则=。
∴DM=。.…9分
②当⊙Q经过点E时，如图2，过C点作CK⊥AB，垂足为K.
设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3-r.
在Rt△EQK中，12+（3-r）2= r2，解得r=，
∴CG=×=
易知△DFM∽△AGM，可得DM=.……10分
③当⊙Q经过点D时，如图3，此时点M与点G重合，且给好在点A处，可得DM=4……11分
∴综上所述，当DM=或 【知识点】动点相似三角形的判定和性质圆三角函数勾股定理

4.（2019浙江省金华市，24，12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

（第24题图）
【思路分析】本题综合考查等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质．（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD＝BD，证△ADO≌△FCO得DO＝CO，等量代换得BD＝CD＝2 DO．
（2）①由点D，分别为AB，的中点，想到三角形中位线定理，于是连结BF．
分别过点D，F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M．证△DNE≌△EMF，得DN＝EM．根据已知条件计算出线段BF的长，进而可得的长；
②存在.分∠DEG＝90°，DG∥BC，∠EDG＝90°时三种情况讨论，并求得CE的长．
【解题过程】解：（1）由旋转的性质得：CD＝CF，∠DCF＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝BD，
∴∠ADO＝90°，CD＝BD＝AD．
∴∠DCF＝∠ADC．
在△ADO和△FCO中

∴△ADO≌△FCO．
∴DO＝CO．
∴BD＝CD＝2 DO．

（2）①如答图1，连结BF，分别过点D，F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M．
∴∠DNE＝∠EMF＝90°．
又∵∠NDE＝∠MEF，DE＝EF，
∴△DNE≌△EMF．∴DN＝EM．
又∵BD＝，∠ABC＝45°，∴DN＝EM＝7，
∴BM＝BC―ME―EC＝5，∴MF＝NE＝NC－EC＝5．
∴BF＝．
∵点D，分别为AB，的中点．
∴DG＝BF＝．

②过点D作DH⊥BC于点H．
∵AD＝6BD，AB＝14，∴BD＝2．
Ⅰ）当∠DEG＝90°时，有如答图2，3两种情况，设CE＝t．
∵∠DEF＝90°，∠＝DEG°，
∴点E在线段AF上．
∴BH＝DH＝2，BE＝14－t，HE＝BE－BH＝12－t．
∵△DHE∽△ECA，∴＝，即＝，解得t＝6±2，
∴CE＝6＋2或CE＝6－2．

Ⅱ）当DG∥BC时，如答图4．
过点F作FK⊥BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN＝NA，连结FM．
则NC＝DH＝2，MC＝10．
设GN＝t，则FM＝2t，BK＝14－2t．
∵△DHE≌△EKF．∴KE＝DH＝2，∴KF＝HE＝14－2t．
∵MC＝FK，∴14－2t＝10，t＝2．
∵GN＝EC＝2，GN∥EC，
∴四边形GECN是平行四边形．
而∠ACB＝90°，
∴四边形GECN是矩形．
∴∠EGN＝90°．
∴当EC＝2时，有∠DGE＝90°．


Ⅲ）当∠EDG＝90°时，如答图5．
过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N，M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线，交NG的延长线于点P．
则PN＝HC＝BC－HB＝12．
设GN＝t，则FM＝2t，∴PG＝PN－GN＝12－t．
由△DHE≌△EKF可得FK＝2，
∴CE＝KM＝2t－2．
∴HE＝HC－CE＝12－（2t－2）＝14－2t，
∴EK＝HE＝14－2t，
AM＝AC＋CM＝AC＋EK＝14＋14－2t＝28－2t，．
∴MN＝AM＝14－t，NC＝MN－CM＝t．
∴PD＝t－2．
由△GPD∽△DHE可得＝，即＝，
解得t1＝10－，t2＝10＋（舍去），
∴CE＝2t－2＝18－2．
所以，CE的长为6＋2，6－2，2或18－2.

【知识点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线性质；旋转的性质；矩形的判定；分类讨论的思想

5.（2019四川省自贡市，25，12分）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①线段DB和DG的数量关系是；
②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.
（2）当四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.
①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1,AB=2，直接写出线段GM的长度.

【思路分析】
（1）根据旋转和正方形的性质，证明△BDG为等腰直角三角形即可；再判定△EDB≌△FDG，得到BE=GF，故BG=BF+FG=BF+BE；最后在Rt△BDG中，由∠DBG=45°得到BD与BG的关系，将BG= BF+BE代入即可得到最终结果；
（2）先类比第（1）问证明△EDB≌△FDG，再过D作DH⊥BG于H，探究△DBG中腰长BD与底边BG的关系，从而得出BE、BF和BD之间的数量关系；
（3）先判定∠CDF=90°，求出FC的长；在根据△CDM∽BEM，计算CM的长；最后根据△BDE≌△FDG,得出GF的长，由GM=FG+FC+CM即可求出结果.
【解题过程】
解：（1）①答案：DB=DG.
∵∠BDE绕点D逆时针旋转90°得到∠GDF,
∴∠EDF=∠GDB=90°，∠BDE=∠GDF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=∠DBA=∠ABC=45°.
∵∠BDG=90°，
∴∠DBG=∠G=45°.
∴DB=DG.
②线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=BD，理由如下：
∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，
∴△EDB≌△FDG.
∴BE=GF.
故答案为DB=DG.
在Rt△BDG中，∵∠DBG=45°，
∴cos∠DBG=,
即BG=BD，
又∵BG=BF+FG=BF+BE,
∴BF+BE=BD.
（2）线段BE，BF和DB关系为：BF+BE=BD，理由如下：
∵∠BDE绕点D逆时针旋转120°得到∠GDF,
∴∠EDF=∠GDB=120°，∠BDE=∠GDF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠DBG=∠ABC=30°，
∴∠G=180°-∠DBG-∠BDG=30°，
∴∠G=∠DBG，
∴BD=GD，
∵∠EDB=∠FDG，DB=DG,∠DBE=∠G，
∴△DBE≌△DGF,
∴BE=GF,
∴BG=BF+GF=BF+BE.
过D作DH⊥BG于H，

又∵DB=DG,
∴BH =BG，
在Rt△BDH中，∠DBG=30°，
∴cos∠HBD=,
∴BH=BD,
又∵BH =BG，
∴BG=BD.
又∵BG=BF+BE，
∴BF+BE=BD.
（2） GM=，理由如下：
由旋转可知，∠BDF=1200，
又∵∠ABC=600，四边形ABCD为菱形，
∴∠CDB=∠CBD=∠ABC=300，
∴∠FDC=∠BDF-∠BDC=900，
在Rt△CDF中，∠DCF=1800-∠BCD=600，
∴FC==4.
∵AB∥CD，
∴△CDM∽△BEM，
∴，
∴CM==.
由（2）可知，△BDE≌△FDG，
∴GF=BE=1.
∴GM=FG+FC+CM=1+4+=.
【知识点】全等三角形判定，旋转的性质，勾股定理，相似三角形判定.

6.（2019四川省凉山市，27，10）如图，∠ABD=∠BCD =90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2 =AD·CD；
（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．

第27题图

【思路分析】（1）利用两角分别相等证△DAB∽△DBC，再由相似性质得到结论；
(2)先利用相似性质与勾股定理求BD、AB的长，再借助角的关系得到△ABM是等边三角形求得BM的长，最后利用相似和勾股定理求BC、CM、MN的长.
【解题过程】（1）证明：∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC，∵∠ABD=∠BCD=90°，∴△DAB∽△DBC，
∴=,∴BD2=ADCD.
(2)由（1）可知：BD2=ADCD.∵CD=6,AD=8，∴BD=4,又AD=8，∴AB= ，∴AB=AD，∴∠ADB =30°，∠BDC=∠ABD=30°，又∠ABD=∠BCD =90°，∴∠A=∠DBC =60°，∵BM∥CD，∴∠BDC=∠MBD =30°，∠ABM =∠ABD-∠MBD =60°，∴△ABM是等边三角形，故BM=AB=4，
∵△ABD∽△BCD，∴，∴，∵BM∥CD，∴∠CBM =180°-∠BCD =90°，∴CM=，∵BM∥CD，∴△BMN∽△DCN，∴，∴CN=1.5MN，又CN+MN=CM=，∴MN=．

【知识点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；等边三角形的判定与性质；转化思想

7.（2019四川省乐山市，25，12）在△中，已知是边的中点，是△的重心，过点的直线分别交、于点、.
（1）如图①，当∥时，求证：；
（2）如图②，当和不平行，且点、分别在线段、上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图③，当点在的延长线上或点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

①②③
第24题图
【思路分析】（1）根据重心性质与平行线分线段成比例定理证得结论；
（2）过点作∥交的延长线于点，、的延长线相交于点，借助平行线分线段成比例定理以及比例变形得到结论；
（3）分情况讨论举出反例说明结论不成立.
【解题过程】解：（1）是△重心，,
又∥,,, 则.
（2）（1）中结论成立，理由如下：如图，过点作∥交的延长线于点，
、的延长线相交于点，则，，
，
又， 而是的中点，即，
，
， 又，，故结论成立；


第25题答图
（3）（1）中结论不成立，理由如下：当点与点重合时，为中点，,
点在的延长线上时,,,则， 同理：当点在的延长线上时，， ∴结论不成立.
【知识点】重心性质；平行线分线段成比例定理；比例性质；分类讨论思想

8.（2019四川达州，题号20，7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3.
（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹. ①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为E.
（2）在（1）作出的图形中，求DE的长.

【思路分析】（1）可根据做角平分线和过直线外一点作已知直线的垂线的作图方法作图；
（2）由DE⊥AC，∠ACB=90°可知DE∥AC，CD平分∠ACB，可得CE=DE，然后再根据相似三角形的性质即可求得DE的值.
【解题过程】
（1）
（2）解：∵DE⊥AC，∠ACB=90°
∴ DE∥AC
∴∠ACD=∠CDE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠DCE
∴∠DCE=∠CDE
∴ED=EC
∵DE∥AC
∴△BED∽△BCA
∴
设ED=EC=x，则BE=3-x

解得：x=
∴DE的长为
【知识点】尺规作图、角平分线、相似三角形、平行线.

9.（2019山东省潍坊市，22，10分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H，连接HF，AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．
（2）若AB=3，EC=5，求EM的长．

【思路分析】（1）利用“SAS”证明△ABH≌△HGF，即可得到边角关系，从而证明△AHF为等腰直角三角形；（2）计算出DE的长度，利用AD∥EF可得，从而求得EM．
【解题过程】（1）证明：∵AD∥CG，AH∥DG
∴四边形ADGH为平行四边形．
∴AD=HG．
∵AD=BC，
∴BC=HG
∴BC+CH=GH+HC
即BH=CG
∴GF=BH
在△ABH和△HGF中
AB=HG∠B=∠HGFBH=GF
∴△ABH≌△HGF
∴∠BAH=∠GHFAH=HF
∵∠BAH+∠BHA=90°
∴∠AHF=90°
∴△AHF为等腰直角三角形．
（2）∵AB=3，EC=5
∴AD=CD=3，CE=EF=5
∴DE=2
∵AD∥EF
∴
∴EM=DE=．
【知识点】正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质

23． 10.(2019山东泰安,23题,13分)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P是边AD上一点.
(1)若BP平分∠ABD,交AE于点F,如图①,证明四边形AGFP是菱形
(2)若PE⊥EC,如图②,求证：;
(3)在(2)的条件下,若AB＝1,BC＝2,求AP的长.

第23题图
【思路分析】(1)由角平分线得到角相等和PA＝PF,利用等角对等边得到AP＝AG,从而得出AG＝PF,由垂直得出AG∥PF,∴AGFP是平行四边形,由AP＝AG得出四边形AGFP是菱形;(2)利用同角的余角相等,可得∠AEP＝∠CED,∠PAE＝∠CDE,从而证明△AEP∽△DEC,得到比例式,通过等量代换,得到结论;(3)在Rt△ADE中,通过三角函数得到AP与DC的比,则AP可求.
【解题过程】(1)∵BP平分∠ABD,PF⊥BD,PA⊥AB,∴AP＝PF,∠ABP＝∠GBE,又∵在Rt△ABP中,∠APB+∠ABP＝90°,在Rt△BGE中∠GBE+∠BGE＝90°,∴∠APB＝∠BGE,又∵∠BGE＝∠AGP,∴∠APB＝∠AGP,∴AP＝AG,∴AG＝PF,∵PF⊥BD,AE⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP是平行四边形,∴¨AGFP是菱形;
(2) ∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AEP+∠PED＝90°,∠CED+∠PED＝90°,∴∠AEP＝∠CED,又∵∠PAE+∠ADE＝90°,∠CDE+∠ADE＝90°,∴∠PAE＝∠CDE,∴△AEP∽△DEC,∴,∴,又∵CD＝AB,∴;
(3) ∵AB＝1,BC＝2,∴在Rt△ADE中,,由(2)知,∴;
【知识点】角平分线的性质,等角的余角相等,等角对等边,菱形的判定,相似三角形的判定

11.（2019安徽省，23，14分）如图，中，，，为内部一点，且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点到三角形的边，，的距离分别为，，，求证．

【思路分析】（1）利用等式的性质判断出，即可得出结论；
（2）由（1）的结论得出，进而得出，即可得出结论；
（3）先判断出，得出，即，再由，判断出，即可得出结论．
【解题过程】解：（1），，

又，


又，

（2）

在中，，



（3）如图，过点作，交、于点，，
，，，

，
，
又
，
，
，即，

，
，

．
即：．

【知识点】等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质

12.（2019广东省，19，6分）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若2，求的值．

【思路分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；
（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．
【解题过程】解：（1）如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴2．
【知识点】相似三角形的判定与性质；作图