2023新教材高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.3　离散型随机变量的数字特征7.3.1　离散型随机变量的均值1．通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质．(重点)2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1．通过离散型随机变量的均值的学习，培养数学抽象素养．2．应用随机变量的均值解题，提升数学运算素养．有一组数据，其中有3个1，2个2，1个3，这组数据的平均数是多少？从中任取一个数据，用X表示这个数据，X的可能取值有哪些？X取每个值的概率是多少？将X的每个值与其对应的概率相乘，求其所有积的和与上面求得的平均数相比较，有什么发现？知识点1　离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n．E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．知识点2　两点分布的均值若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p．随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]　随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化． (　　)(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (　　)(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4． (　　)(4)随机变量X的均值E(X)＝． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．若随机变量X的分布列为X－101P则E(X)＝(　　)A．0 B．－1C．－ D．－C　[E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－．] 类型1　离散型随机变量的均值公式及性质【例1】　已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．[解]　(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝．(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－．(3)法一(公式法)：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－．法二(直接法)：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－．1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[跟进训练]1．已知随机变量ξ的分布列为ξ－101Pm若η＝aξ＋3，E(η)＝，求a的值．[解]　由分布列的性质得＋＋m＝1，所以m＝．所以E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－．所以E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝－a＋3＝，得a＝2． 类型2　求离散型随机变量的均值【例2】　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，只要某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．[解]　X的取值分别为1，2，3，4．X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6．X＝2，表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28．X＝3，表明李明第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096．X＝ 4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024．所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544．求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．(2)求出X取每个值的概率．(3)写出X的分布列(有时也可省略)．(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．[跟进训练]2．在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的均值．[解]　由题意，得ξ可能的取值为1，2，3，4，5，则P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝，P(ξ＝4)＝×××＝，P(ξ＝5)＝××××1＝，故ξ的分布列为ξ12345P由离散型随机变量的均值的定义知E(ξ)＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3． 类型3　离散型随机变量均值的实际应用【例3】　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X．(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解]　(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2．P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02．故X的分布列为：X621－2P0.630.250.10.02(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．2．概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．[跟进训练]3．某滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)．[解]　(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为P1＝×＝；两人都付40元的概率为P2＝×＝；两人都付80元的概率为P3＝×＝×＝．则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．(2)由题意，得ξ所有可能的取值为0，40，80，120，160．P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝40)＝×＋×＝；P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；P(ξ＝120)＝×＋×＝；P(ξ＝160)＝×＝．ξ的分布列为ξ04080120160PE(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80(元)．1．已知X的分布列为：X－101Pa设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是(　　)A．－ B．C．1 D．B　[由已知得＋＋a＝1，∴a＝，∴E(X)＝－＋＝－，∵E(Y)＝2E(X)＋1，∴E(Y)＝．故选B．]2．已知随机变量X的分布列如表：X－10bPab若X的数学期望E(X)＝，则ab＝(　　)A． B．C． D．A　[由题意可得解得a＝，b＝．所以ab＝×＝．故选A．]3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ012P－pp则E(ξ)的最大值为________．　[由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤．]4．设E(X)＝5，则E(2X＋10)＝________．20　[E(2X＋10)＝2E(X)＋10＝2×5＋10＝20．]5．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则E(ξ)＝________．3.5　[由题意知ξ＝2，3，4．则P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，可得分布列为ξ234P∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝3.5．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出离散型随机变量的均值公式吗？[提示]　E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn．2．你能说出随机变量的均值与样本均值的关系吗？[提示]　随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．