2023新教材高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质教师用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时　等差数列前n项和的性质1．掌握an与Sn的关系并会应用．(难点)2．掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点)3．会用裂项相消法求和．(易错点)1．通过等差数列前n项和Sn的函数特征的学习，体现了数学建模核心素养．2．借助等差数列前n项和Sn性质的应用及裂项相消法求和，培养数学运算核心素养．1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时)Sn＝n2＋n．反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？知识点1　等差数列前n项和“片段和”的性质在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．1．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．15　[由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，也就是4,5，S6－9成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15．]知识点2　等差数列奇偶项和的性质(1)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝．(2)若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝．(3)若等差数列{an}的项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝．2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列． (　　)(2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列． (　　)(3)若等差数列的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√3．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)A．9 B．10C．11 D．12B　[∵＝，∴＝．∴n＝10．故选B．] 类型1　“片段和”的性质【例1】　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110．(1)可直接用等差数列的前n项和公式列出方程组求解．(2)能否用等差数列前n项和的性质求解呢？[解]　法一　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则解得∴S110＝110a1＋d＝110×＋×＝－110．法二　∵S10＝100，S100＝10，∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，∴a11＋a100＝－2．又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，∴S110＝＝－110．法三　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22．∴前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110．法四　设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，则＝a1＋(n－1)．∴数列是等差数列，其公差为．∴－＝(100－10)×，且－＝(110－100)×．代入已知数值，消去d，可得S110＝－110．法五　令Sn＝An2＋Bn．由S10＝100，S100＝10，∴解得∴S110＝1102A＋110B＝1102×＋110×＝－110．本题可从不同角度应用等差数列的性质，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决．(1)通性通法；(2)使用Sn和an之间的关系；(3)使用前n项和“片段和”的性质；(4)使用性质“也是等差数列”；(5)利用前n项和可用Sn＝An2＋Bn表示的特点．1．已知{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99．求a10＋a11＋a12的和．[解]　在等差数列{an}中，{an＋an＋1＋an＋2}也成等差数列，设公差为D，∵a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99．∴D＝99－105＝－6．∴a10＋a11＋a12＝105＋(10－1)×(－6)＝51． 类型2　比值问题【例2】　(1)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________．(2)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝________．寻找等差数列前n项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转化．(1)　(2)　[(1)法一：＝＝＝＝＝＝．法二：设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt，则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，故＝＝．(2)法一：＝＝＝＝．法二：设an＝(n＋2)t，bn＝(2n＋1)t，则＝＝＝．][母题探究]1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求．[解]　设Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt．则a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b7＝T7－T6＝70t－54t＝16t．∴＝＝．2．(变结论)在本例(2)条件不变的情况下，求．[解]　设an＝(n＋2)t，bn＝(2n＋1)t．∴＝＝＝．等差数列前n项和计算的两种思维方法(1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解．(2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．2．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．5　[法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d，则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5．法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，则解得∴6d＝192－162＝30，∴d＝5．法三：由题意知由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得(177－3d)×32＝(177＋3d)×27，解得d＝5．] 类型3　裂项相消法求和【例3】　设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．利用Sn与an的关系求an，然后通过分析的特点求和．[解]　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2＝，从而{an}的通项公式为an＝．(2)记的前n项和为Sn．由(1)知＝＝－．则Sn＝－＋－＋…＋－＝．裂项相消法求和的步骤(1)方法解读裂项相消法就是将数列的通项拆成两项的差，然后通过累加抵消掉中间的许多项的求和方法．此种方法适用于通项可以分裂成两式之差(尤其是分母为等差数列中的两项之积)等类型的数列求和问题．2方法步骤第一步：求出数列的通项公式；第二步：根据通项公式的特征准确裂项，表示为两项之差的形式；第三步：把握消项的规律，准确求和．3．等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋．[解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴＝＝＝，∴＋＋…＋＝＝＝－．1．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn＝20，S2n＝80，则S3n＝(　　)A．130 B．180C．210 D．260B　[在等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即20,60，S3n－80成等差数列．∴20＋(S3n－80)＝2×60．∴S3n＝180．故选B．]2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)A．1 B．－1C．2 D．A　[∵＝，∴＝＝＝×＝1．故选A．]3．已知等差数列{an}的前9项和为27，a10＝8，则a100＝(　　)A．100 B．99C．98 D．97C　[∵S9＝27，∴(a1＋a9)＝×2a5＝27．∴a5＝3，又∵a10＝8，∴d＝＝1．∴a100＝a10＋90×d＝8＋90＝98，故选C．]4．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．75　[因为an＝2n＋1，所以a1＝3．所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75．]5．数列的前100项的和为________．　[∵＝－．∴S100＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？[提示]　推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．(2)在什么情况下使用裂项相消法求和？主要的裂项方式有哪些？[提示]　若{an}为等差数列，则满足特点的数列可用裂项相消法求和．形式为＝．常见的裂项公式有＝－，＝，＝．