2023新教材高中数学第4章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用教师用书新人教A版选择性必修第二册

第2课时　等差数列的性质及应用1．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)1．通过等差数列性质的学习，体现了数学运算核心素养．2．借助等差数列的实际应用，培养数学建模及数学运算核心素养．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)知识点1　等差数列的图象等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？[提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数(d≠0)，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝．1．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　)A．4 B．C．－4 D．－A　[由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4,15)，(7,27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝＝4．故选A．]知识点2　等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak．②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．2．若{an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q一定成立吗？[提示]　不一定．如常数列2,2,2,2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4．2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　　)(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． (　　)(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√[提示]　(1)错误，如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误，如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立． 类型1　灵活设元解等差数列【例1】　已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．[解]　法一　设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18．解得a＝6．又∵前三项的乘积为66．∴6×(6＋d)(6－d)＝66，解得d＝±5．∵该数列单调递减，∴d＝－5，且首项为11，∴通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16．令－5n＋16＝－34，解得n＝10．∴－34是数列{an}的第10项．法二　依题意得∴解得或∵数列{an}是递减等差数列，∴d＜0．故a1＝11，d＝－5．∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16．令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10．∴－34是数列{an}的第10项．等差数列的设项方法与技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定数列．(2)当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d．(3)当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d．1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．[解]　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d．由已知有整理得解得a＝1，d＝±．当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－．综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－． 类型2　等差数列的性质【例2】　(1)在等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)A．32 B．27C．24 D．16(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．能否通过性质“m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq”找出解题突破口？由此可以顺利解出来．(1)C　(2)　[(1)法一　设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24．法二　在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7．又∵a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5，∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24．(2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，则b＝2－＝．根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，∴这个等差数列的顺序为，c，d，．则c＝，d＝．∴m＝ab＝，n＝cd＝．∴|m－n|＝＝．][母题探究]1．(变条件，变结论)将本例(1)中的条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15．[解]　法一　因为a5，a10，a15成等差数列，所以a5＋a15＝2a10．所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32．法二　因为{an}为等差数列，设其公差为d，所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝．所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32．2．(变条件，变结论)将本例(1)中的条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8．[解]　法一　∵在等差数列{an}中，a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450．解得a5＝90．∴a2＋a8＝2a5＝180．法二　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．根据an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450．∴a1＋4d＝90．∴a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180．等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为：若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N*)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak．(2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap．2．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*．若{an}为递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，则p的值为________．　[因为数列{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn，而a1＝1，所以a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1．又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，即3p2－p＝0，解得p＝0或p＝．当p＝0时，an＋1＝an，这与数列{an}是递增数列矛盾，故p＝．] 类型3　等差数列的实际应用【例3】　某公司2017年生产一种数码产品，获利200万元，从2018年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？[解]　记2017年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损．设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n．由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11，即从第12年起，也就是从2028年开始，该公司生产此产品将出现亏损．等差数列在实际应用中的解法解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息，若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列，合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．3．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位)(　　)A．0.9升　　　　B．1升　　　　C．1.1升　　　　D．2.1升B　[不妨令九节竹的盛米容积由下向上成等差数列{an}，公差为d．依题意得故即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝2.6＋11d＝1.5，解得d＝－0.1，故a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1(升)．故选B．]1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是(　　)A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．非等差数列D．以上说法均不正确B　[由条件可设an＝dn＋b，则2an＝2dn＋2b，∴数列{2an}的公差为2d．]2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)A．5 B．6C．8 D．10A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5．]3．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　)A．a6 B．a7C．a8 D．a9B　[∵3a3＝4a4，∴3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，∴a3＝－4d，∴an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，∴a7＝0，故选B．]4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________．12　[在等差数列{an}中，a1＋a15＝2a8，∵a1＋3a8＋a15＝60，∴5a8＝60，即a8＝12．又∵a2＋a14＝2a8，∴a2－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．]5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是____________．－2,0,2,4　[设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1．又∵四个数成递增等差数列，∴d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)在等差数列{an}中，任意两项an与am之间的关系是什么？[提示]　在等差数列{an}中，an－am＝(n－m)d．(2)在等差数列{an}中，常用的性质有哪些？[提示]　性质1通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)性质2若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an性质3若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d性质4若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列性质5若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列性质6若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0性质7有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…性质8若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列高斯的故事高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名．高斯1777年4月30日生于不伦瑞克，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育．1795—1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世．高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了极高的天赋，最能证明这一点的是高斯10岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，…，共有50对这样的数，用101乘50得到5 050．这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了．