高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 5.3.1　函数的单调性(含解析)

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§5.3　导数在研究函数中的应用5.3.1　函数的单调性学习目标　1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一　函数的单调性与其导数的正负之间的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：思考　如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？答案　f(x)是常数函数．知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求出导数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．知识点三　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)0.(　×　)3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　√　)4．函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(　√　)一、函数图象与导函数图象的关系例1　(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)答案　D解析　由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)答案　D解析　从f′(x)的图象可以看出，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内，导数单调递增；在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a＋b,2)))内越来越陡，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，b))内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．反思感悟　(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)