中考数学压轴题（28）——定义函数与圆综合题

这是一份中考数学压轴题（28）——定义函数与圆综合题，共7页。试卷主要包含了我们定义等内容，欢迎下载使用。
每周两题（二）1．（2022秋•广益月考）我们定义：点在一次函数上，点在反比例函数上，若存在、两点关于轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，、两点关于轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），其“向光函数” 与轴交于、两点在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点③，记四边形的面积为，求的取值范围．                      2．（2022秋•广益月考）如图1，半径为3的中任作一个圆内接，为劣弧上一动点，连接，，且，相交于点．（1）求证：；（2）如图2，当过圆心时，有，，求此时的长；（3）如图3，当运动到某一位置时，过作直线垂直于，垂足为，与边交于点，恰有，若，且，求此时的长．
1．（2022秋•广益月考）我们定义：点在一次函数上，点在反比例函数上，若存在、两点关于轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，、两点关于轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”．（1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不是，请说明理由；（2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式；（3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），其“向光函数” 与轴交于、两点在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点③，记四边形的面积为，求的取值范围．【分析】（1）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，根据题意可得，求出的值即可求“幸福点”；（2）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，根据题意可得，再由△，求出的值即可确定“向光函数”的解析式；（3）由题意可得，，，，再由已知条件得到，，则，求得，再由，求出．【解答】解：（1）存在“向光函数”，理由如下：设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，当时，解得或，或是“幸福点”，一次函数和反比例函数存在“向光函数”；（2）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，当时，，一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，△，解得或，当时，，，则“向光函数”为；当时，，，则“向光函数”为；（3）设一次函数上任意一点，则点关于轴的对称点，当时，，一次函数与反比例函数有两个“幸福点”，△，，， “向光函数” 与轴交于、两点，，， “向光函数”经过点，，，，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清新定义是解题的关键． 2．（2022秋•广益月考）如图1，半径为3的中任作一个圆内接，为劣弧上一动点，连接，，且，相交于点．（1）求证：；（2）如图2，当过圆心时，有，，求此时的长；（3）如图3，当运动到某一位置时，过作直线垂直于，垂足为，与边交于点，恰有，若，且，求此时的长．【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，然后根据对顶角相等可证问题；（2）过点作于点，由题意可知，则，设，则，然后根据含30度直角三角形的性质可得，，进而根据射影定理可得，则可求出的值，最后根据相似三角形的性质可求解；（3）连接并延长，交于点，连接，由题意易证，然后可得，则可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程求解．【解答】（1）证明：，，；（2）解：过点作于点，如图，，是的直径，，，，，．即，，，，，，设，则，，，，，解得：（负根舍去），，由（1）可知，，即，；（3）解：，，，，，，即，，连接并延长，交于点，连接，如图，是的直径，，，，，，，设，，，在中，，由勾股定理得：，解得：，，，，，即．【点评】本题主要考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/2/17 14:58:55；用户：严平；邮箱：15111341689；学号：19129422