数学2.3 三角函数的叠加及其应用当堂检测题

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这是一份数学2.3 三角函数的叠加及其应用当堂检测题，共4页。

1．函数f(x)＝sin x－cs x，则函数f(x)的最大值为( )
A．2 B.eq \r(2)
C．0 D．－2
2．设a＝sin 14°＋cs 14°，b＝sin 16°＋cs 16°，c＝eq \f(\r(6),2)，则下列结论正确的是( )
A．aC．c3．已知函数f(x)＝sin x＋acs x的图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(5π,3)，则函数g(x)＝asin x＋cs x的最大值是( )
A.eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(2\r(6),3)
4．若x＝α时，函数f(x)＝3sin x＋4cs x取得最小值，则sin α＝( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
5．函数y＝sin(x＋10°)＋cs(x＋40°)(x∈R)的最小值是________，最大值是________．
6．已知函数f(x)＝asin x＋bcs x的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1)).
(1)求实数a和b的值；
(2)当x为何值时，f(x)取得最大值．
[提能力]
7．[多选题]已知函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx(ω>0)的零点构成一个公差为eq \f(π,2)的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位，得到函数g(x)图象．关于函数g(x)，下列说法不正确的是( )
A．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是增函数
B．其图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
C．函数g(x)是偶函数
D．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的值域为[－eq \r(3)，2]
8．若f(x)＝cs x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________．
9．已知a≠0，函数f(x)＝－acs 2x－eq \r(3)asin 2x－2a＋b，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，若函数值域为[－5,1]，求常数a，b的值．
[战疑难]
10．定义在区间[a，b](b>a)上的函数f(x)＝eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，则b－a的最大值与最小值之和为( )
A.eq \f(π,2) B．π
C.eq \f(5π,3) D．2π
课时作业30 三角函数的叠加及其应用
1．解析：f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，所以f(x)的最大值为eq \r(2)，故选B.
答案：B
2．解析：因为a＝sin 14°＋cs 14°＝eq \r(2)sin(14°＋45°)＝eq \r(2)sin 59°.b＝sin 16°＋cs 16°＝eq \r(2)sin(16°＋45°)＝eq \r(2)sin 61°，c＝eq \f(\r(6),2)＝eq \r(2)sin 60°，又因为y＝eq \r(2)sin x在(0°，90°)上是单调递增函数，所以eq \r(2)sin 59°答案：D
3．解析：由于函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(5π,3)对称，
∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10π,3)))，∴a＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(a,2)，
∴a＝－eq \f(\r(3),3)，
∴g(x)＝－eq \f(\r(3),3)sin x＋cs x＝eq \f(2\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))，
∴g(x)max＝eq \f(2\r(3),3).故选B.
答案：B
4．解析：由题，则f(x)＝5sin(x＋φ)，sin φ＝eq \f(4,5)，cs φ＝eq \f(3,5)，
当α＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，即α＝－eq \f(π,2)－φ＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，
则sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－φ＋2kπ))＝－cs φ＝－eq \f(3,5)，
故选B.
答案：B
5．解析：令x＋10°＝α，则x＋40°＝α＋30°.
∴y＝sin α＋cs(α＋30°)＝sin α＋cs αcs 30°－sin αsin 30°＝eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＝sin(α＋60°)．∴ymin＝－1，ymax＝1.
答案：－1 1
6．解析：(1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a＋\f(1,2)b＝0，,a＝1.))解得：a＝1，b＝－eq \r(3).
(2)由(1)知f(x)＝sin x－eq \r(3)cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
当x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z时，f(x)取得最大值．
7．解析：f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))，由题意知函数f(x)的最小正周期为π，则eq \f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，将函数f(x)的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位，得到g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝2sin 2x的图象，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，故A错误；当x＝eq \f(π,2)时，g(x)≠±2，所以直线x＝eq \f(π,2)不是g(x)的对称轴，故B错误；显然g(x)是奇函数，故C错误；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，所以g(x)∈[－eq \r(3)，2]，故D正确．故选A、B、C.
答案：ABC
8．解析：f(x)＝cs x－sin x＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，
令2kπ≤x＋eq \f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，
因此[－a，a]⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，∴－a∴0答案：eq \f(π,4)
9．解析：函数y＝－acs 2x－eq \r(3)asin 2x－2a＋b
＝－2asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋2a＋b
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
当a>0时，由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2a＋b＝1，,－2a＋2a＋b＝－5，))
解得a＝2，b＝－5，
当a<0时，由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2a＋2a＋b＝1,－2a×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2a＋b＝－5))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝1.))
综上，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2,b＝－5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2,b＝1)).
10．解析：f(x)＝eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，因为x∈[a，b](b>a)，所以x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a－\f(π,3)，b－\f(π,3)))，根据题意，不妨令a－eq \f(π,3)＝－eq \f(π,6)，则b－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(7π,6)))，所以b－a的最大值为M＝eq \f(7π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(4π,3)；最小值为m＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \f(2π,3)，所以M＋m＝2π.故选D.
答案：D

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