2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）

这是一份2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}
2．（5分）已知z，则z（　　）
A．﹣i B．i C．0 D．1
3．（5分）已知向量（1，1），（1，﹣1）．若（λ）⊥（μ），则（　　）
A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
5．（5分）设椭圆C1：y2＝1（a＞1），C2：y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2e1，则a＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（　　）
A．1 B． C． D．
7．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．（5分）已知sin（α﹣β），cosαsinβ，则cos（2α+2β）＝（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
（多选）10．（5分）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
（多选）11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（　　）
A．f（0）＝0 B．f（1）＝0
C．f（x）是偶函数 D．x＝0为f（x）的极小值点
（多选）12．（5分）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　　）
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 　 　种（用数字作答）．
14．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1，则该棱台的体积为 　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 　 　．
16．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，，则C的离心率为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．

19．（12分）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna．
20．（12分）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．
21．（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（）．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．

2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，则M∩N＝（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{0，1，2} C．{﹣2} D．{2}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算．
【答案】C
【分析】先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣6≥0，∴（x﹣3）（x+2）≥0，∴x≥3或x≤﹣2，
N＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则M∩N＝{﹣2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）已知z，则z（　　）
A．﹣i B．i C．0 D．1
【考点】复数的运算；共轭复数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：z，
则，
故i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3．（5分）已知向量（1，1），（1，﹣1）．若（λ）⊥（μ），则（　　）
A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由已知求得λ与μ的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解．
【解答】解：∵（1，1），（1，﹣1），
∴λ（λ+1，1﹣λ），μ（μ+1，1﹣μ），
由（λ）⊥（μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，
整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
4．（5分）设函数f（x）＝2x（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【考点】复合函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
【解答】解：设t＝x（x﹣a）＝x2﹣ax，对称轴为x，抛物线开口向上，
∵y＝2t是t的增函数，
∴要使f（x）在区间（0，1）单调递减，
则t＝x2﹣ax在区间（0，1）单调递减，
即1，即a≥2，
故实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
5．（5分）设椭圆C1：y2＝1（a＞1），C2：y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2e1，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】A
【分析】利用椭圆C2：y2＝1的方程可求其离心率e2，进而可求e1，可求a．
【解答】解：由椭圆C2：y2＝1可得a＝2，b＝1，∴c，
∴椭圆C2的离心率分别为e2，
∵e2e1，∴e1，∴，
∴a2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝4（a2﹣1），
∴a或a（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
6．（5分）过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有
【专题】数形结合；定义法；三角函数的求值；直线与圆；数学运算．
【答案】B
【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cos和sinα的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r；
设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC2，
△PAC中，sin，所以cos，
所以sinα＝2sincos2．
故选：B．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
7．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【考点】等差数列的性质；充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】整体思想；分析法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．
【解答】解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，
则Sn＝na1d，
即a1dn+a1，
故{}为等差数列，
即甲是乙的充分条件．
反之，若{}为等差数列，则可设D，
则S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，
当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，
上两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，
当n＝1时，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，
则an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），
所以数列{an}为等差数列．
即甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的充要条件．
故本题选：C．
【点评】本题主要考查利用定义进行等差数列的判断，穿插了充要条件的判定，属中档题．
8．（5分）已知sin（α﹣β），cosαsinβ，则cos（2α+2β）＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】两角和与差的三角函数．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【答案】B
【分析】由已知结合和差角公式先求出sinαcosβ，再求出sin（α+β），然后结合二倍角公式可求．
【解答】解：因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα，cosαsinβ，
所以sinαcosβ，
所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα，
则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【答案】BD
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
【解答】解：A选项，x2，x3，x4，x5的平均数不一定等于x1，x2，⋯，x6的平均数，A错误；
B选项，x2，x3，x4，x5的中位数等于，x1，x2，⋯，x6的中位数等于，B正确；
C选项，设样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，
x1，x2，⋯，x6的方差[（0﹣5）2+（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2+（10﹣5）2]＝20，
x2，x3，x4，x5的方差[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]＝10，
，∴s1＞s2，C错误．
D选项，x6＞x5，x2＞x1，∴x6﹣x1＞x5﹣x2，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
（多选）10．（5分）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　）
A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据题意分别计算p1，p2，p3的范围，进行比较即可求解．
【解答】解：由题意得，60≤20lg90，1000p0≤p1p0，
50≤20lg60，10p0≤p2≤1000p0，
20lg40，p3＝100p0，
可得p1≥p2，A正确；
p2≤10p3＝1000p0，B错误；
p3＝100p0，C正确；
p0≤100p2≤100000p0，p1≤100p2，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），则（　　）
A．f（0）＝0 B．f（1）＝0
C．f（x）是偶函数 D．x＝0为f（x）的极小值点
【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】函数思想；试验法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】ABC
【分析】在已知等式中，取x＝y＝0判断A；取x＝y＝1判断B；求出f（﹣1），再取y＝﹣1判断C；取满足等式的特殊函数判断D．
【解答】解：由f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），
取x＝y＝0，可得f（0）＝0，故A正确；
取x＝y＝1，可得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B正确；
取x＝y＝﹣1，得f（1）＝2f（﹣1），即f（﹣1）f（1）＝0，
取y＝﹣1，得f（﹣x）＝f（x），可得f（x）是偶函数，故C正确；
由上可知，f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，而函数解析式不确定，
不妨取f（x）＝0，满足f（xy）＝y2f（x）+x2f（y），
常数函数f（x）＝0无极值，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
（多选）12．（5分）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　　）
A．直径为0.99m的球体
B．所有棱长均为1.4m的四面体
C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体
D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】ABD
【分析】对于A，由正方体的内切球直径大于0.99可判断；对于B，由正方体内部最大的正四面体的棱长大于1.4可判断；对于C，由正方体的体对角线小于1.8可判断；对于D，取E，F，G，H，I，J都为棱中点，则六边形EFGHIJ为正六边形，由正六边形的内切圆直径大于1.2可判断．
【解答】解：对于A，棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99，选项A正确；
对于B，如图，

正方体内部最大的正四面体D﹣A1BC1的棱长为，选项B正确；
对于C，棱长为1的正方体的体对角线为，选项C错误；
对于D，如图，

高为0.01米，可忽略不计，看作直径为1.2米的平面图，
E，F，G，H，I，J都为棱中点，六边形EFGHIJ为正六边形，
其棱长为米，其内切圆直径为FH，
则∠GFH＝∠GHF＝30°，
所以米，
而，选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查简单几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中点题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 　64　种（用数字作答）．
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用分类计数原理进行计算即可．
【解答】解：若选2门，则只能各选1门，有种，
如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有24+24＝48，
综上共有16+48＝64种，不同的方案．
故答案为：64．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
14．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1，则该棱台的体积为 　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意求出四棱台的高，再代入台体的体积公式即可求解．
【解答】解：如图，设正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上下底面中心分别为M，N，
过A1作A1H⊥AC，垂足点为H，由题意易知A1M＝HN，又AN，
∴AH＝AN﹣HN，又AA1，∴A1H＝MN，
∴该四棱台的体积为（1+4）．
故答案为：．

【点评】本题考查台体的体积公式的应用，属基础题．
15．（5分）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 　[2，3）　．
【考点】余弦函数的图象；函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用余弦函数的周期，结合函数的零点个数，列出不等式求解即可．
【解答】解：x∈[0，2π]，函数的周期为（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝1，
函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，
可得22π，
所以2≤ω＜3．
故答案为：[2，3）．
【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．
16．（5分）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥，，则C的离心率为 　　．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（法一）设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），根据题意可得点A的坐标，进一步得到，再由⊥，可得n2＝4c2．结合点A在双曲线上，可得解；
（法二）易知，设，∠F1AF2＝θ，解三角形可知5c2＝9a2，进而得解．
【解答】解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），
设A（x，y），则，
又，则，可得，
又⊥，且，
则，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，
则，整理可得，
代n2＝4c2，可得，即，
解得或（舍去），
故．
（法二）由，得，
设，由对称性可得，
则，
设∠F1AF2＝θ，则，
所以，解得t＝a，
所以，
在△AF1F2 中，由余弦定理可得，即5c2＝9a2，
则．
故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
【考点】解三角形．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形内角和可得C，由2sin（A﹣C）＝sinB，可得2sin（A﹣C）＝sin（A+C），再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA＝3cosA，再结合平方关系即可求出sinA；
（2）由sinB＝sin（A+C）求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．
【解答】解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝π，
∴4C＝π，
∴C，
∵2sin（A﹣C）＝sinB，
∴2sin（A﹣C）＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC＝3cosAsinC，
∴，
∴sinA＝3cosA，即cosAsinA，
又∵sin2A+cos2A＝1，∴，
解得sin2A，
又∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴sinA；
（2）由（1）可知sinA，cosAsinA，
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴5，
∴AC＝5sinB＝52，BC＝553，
设AB边上的高为h，
则，
∴，
解得h＝6，
即AB边上的高为6．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理的应用，属于中档题．
18．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．

【考点】二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）建系，根据坐标法及向量共线定理，即可证明；
（2）建系，根据向量法，向量夹角公式，方程思想，即可求解．
【解答】解：（1）证明：根据题意建系如图，则有：
B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），
∴，，
∴，又B2，C2，A2，D2四点不共线，
∴B2C2∥A2D2；
（2）在（1）的坐标系下，可设P（0，2，t），t∈[0，4]，
又由（1）知C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），
∴，，，
设平面PA2C2的法向量为，
则，取，
设平面A2C2D2的法向量为，
则，取，
∴根据题意可得|cos150°|＝|cos，|，
∴，
∴t2﹣4t+3＝0，又t∈[0，4]，
∴解得t＝1或t＝3，
∴P为B1B2的中点或B2B的中点，
∴B2P＝1．

【点评】本题考查利用向量法证明线线平行，利用向量法求解二面角问题，向量共线定理及向量夹角公式的应用，方程思想，属中档题．
19．（12分）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出导函数f'（x），再对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，判断f'（x）的符号，进而得到f（x）的单调性；
（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min＝f（ln）＝1+a2+lna，要证f（x）＞2lna，只需证1+a2+lna＞2lna，只需证0，设g（a），a＞0，求导可得g（x）min＝g（）＞0，从而证得f（x）＞2lna．
【解答】解：（1）f（x）＝a（ex+a）﹣x，
则f'（x）＝aex﹣1，
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减，
②当a＞0时，令f'（x）＝0得，x，
当x∈（﹣∞，ln）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min＝f（ln）＝a（a）﹣ln1+a2+lna，
要证f（x）＞2lna，只需证1+a2+lna＞2lna，
只需证0，
设g（a），a＞0，
则g'（a）＝2a，
令g'（a）＝0得，a，
当a∈（0，）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增，
所以g（x）≥g（）ln0，
即g（x）＞0，
所以0得证，
即f（x）＞2lna得证．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数恒成立问题，属于中档题．
20．（12分）设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{an}的通项公式；
（2）若{bn}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；
（2）根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设an＝tn，则，且d＝t＞1；或设an＝k（n+1），则，且d＝k＞1，再分类讨论，建立方程，即可求解．
【解答】解：（1）∵3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，
∴根据题意可得，
∴，
∴2d2﹣7d+3＝0，又d＞1，
∴解得d＝3，∴a1＝d＝3，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝3n，n∈N*；
（2）∵{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且bn，
∴根据等差数列的通项公式的特点，可设an＝tn，则，且d＝t＞1；
或设an＝k（n+1），则，且d＝k＞1，
①当an＝tn，，d＝t＞1时，
则S99﹣T9999，
∴，∴50t2﹣t﹣51＝0，又d＝t＞1，
∴解得d＝t；
②当an＝k（n+1），，d＝k＞1时，
则S99﹣T9999，
∴，∴51k2﹣k﹣50＝0，又d＝k＞1，
∴此时k无解，
∴综合可得d．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式与求和公式的应用，方程思想，化归转化思想，分类讨论思想，属中档题．
21．（12分）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，⋯，n，则E（）．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，结合题意，即可得出答案；
（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，构造得Pn+10.4（Pn），结合等比数列的定义可得{Pn}是首项为，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；
（3）由（2）得Pi（）i﹣1，结合题意可得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P（Yi＝1）＝1﹣P（Yi＝0）＝Pi，即E（）＝E（Y），分类讨论n≥1，n＝0，即可得出答案．
【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；
（2）由题意设Pn为第n次投篮的是甲，
则Pn+1＝0.6Pn+0.2（1﹣Pn）＝0.4Pn+0.2，
∴Pn+10.4（Pn），
又P10，则{Pn}是首项为，公比为0.4的等比数列，
∴Pn（）n﹣1，即Pn（）n﹣1，
∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi（）i﹣1；
（3）由（2）得Pi（）i﹣1，
由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P（Yi＝1）＝1﹣P（Yi＝0）＝Pi，
∴E（）＝E（Y），
∴当n≥1时，E（Y）[1﹣（）n]；
当n＝0时，，E（Y）＝0[1﹣（）0]，
综上所述，E（Y）[1﹣（）n]，n∈N．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．（12分）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．
（1）求W的方程；
（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．
【考点】轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学建模；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设点p坐标，结合几何条件即可得出W的方程．
（2）首先利用平移性，化简W的方程可简化计算，核心是把两邻边的和用其他方式表示出来．
【解答】解：（1）设点P点坐标为（x，y），由题意得|y|，
两边平方可得：y2＝x2+y2﹣y，
化简得：y＝x2，符合题意．
故W的方程为y＝x2．
（2）解法一：由平移的不变性，不妨考察y＝x2的内接矩形．
设其上三点A（x1，），B（x2，），C（x3，），且AB⊥AC，
那么|kAB|，|kAC|中至少有一个小等于1，不妨设|kAB|≤1，并记k＝kAB，
则AB方程为y＝k（x﹣x1），与y＝x2 联立，
易得x2＝k﹣x1同理可得x3x1，
则|AB|+|AC|＝|x1﹣x2||x1﹣x3|
＝|2x1﹣k||2x1|f（x1），
注意到f（x1）为开口向上的折线函数，其最小值必在折点处取得，
因此f（x1）≥min{f（），f（）}
＝min{|k|，|k|}
＝|k|
，
所以矩形周长L＝2f（x1），但等号取不了，
因为要构成矩形，x1就不能等于x2或x3，所以前面的f（x1） 并不能取到折点处，
所以周长大于3．
解法二：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．
设A（a，a2），B（b，），C（c，），
则，．
由题意，0，即（b﹣a）（c﹣b）+（b2﹣a2）（c2﹣b2）＝0，
显然（b﹣a）（c﹣b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）＝0．
此时，|b+a|．|c+b|＝1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1．
不妨设|c+b|≤1，则a＝﹣b，
则|AB|+|BC|＝|b﹣a||c﹣b|
＝|b﹣a||c﹣b|
≥|b﹣a||c﹣b|
≥|c﹣a|
＝|b+c|．
设x＝|b+c|，则f（x）＝（x），即f（x），
又f′（x）．
显然，x为最小值点．故f（x）≥f（），
故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．
注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法三：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|．
由图象的平移可知，将抛物线W看作y＝x2不影响问题的证明．
设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，
则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程，
即ρsinθ＝ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ．
欲证明的结论为||+||，
也即||+||．
不妨设||≥||，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当即a时取得，
因此欲证不等式为||，即||，
根据均值不等式，有|cosθsin2θ|
.
.，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
【点评】本题第一问属常规求轨迹方程问题，较简单，第二问对思维能力及计算能力要求很高，属难题．
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