2023年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省无锡市梁溪区金桥双语实验学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  计算：(    )A.  B.  C.  D. 2.  函数中自变量的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列命题中，假命题是(    )A. 一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形
C. 四边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形5.  某班测量了名学生的身高，他们的身高与对应的人数如下表所示身高学生人数人则这名学生身高的众数和中位数分别为(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，6.  关于的方程有两个相等的实数根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，是由个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如图，正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，当时，的取值范围是(    )A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
 9.  如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，点为菱形对角线上一动点，点为边上一定点，连接，，图是点从点匀速运动到点时，的面积随的长度变化的关系图象当点在上时，令，则菱形的周长为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.  因式分解：______．12.  年中国粮食产量再获丰收，突破亿斤，其中亿用科学记数法表示为______ ．13.  若，满足方程组，则 ______ ．14.  已知，，则______．15.  用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是______．16.  若一个正多边形的内角和为，则这个多边形一个外角的度数为______．17.  如图，在中，，，，为边上一点，沿将三角形进行折叠，使点落在点处，记与边的交点为，若，则的长为______ ．
 18.  如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点．
直线与的位置关系为______ ；
的最小值为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.  解方程：；     解不等式组．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20.  本小题分
计算：
；
．21.  本小题分
如图，在四边形中，点、分别是对角线上任意两点，且满足，连接，、若，求证：
≌；
四边形是平行四边形．
22.  本小题分
月日是“世界读书日”，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界上许多国家会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在年第个“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周课外阅读的时间单位：小时，把调查结果分为四档：档：：档：；档：；档：根据调查结果绘成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

本次抽样调查的样本容量是______；
图中档所在扇形的圆心角的度数是______；
请补全图条形统计图；
已知全校共有名学生，请你估计每周课外阅读时间为的学生人数是多少？23.  本小题分在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字、、，它们除了数字不同外，其他都完全相同．随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字的小球的概率为________．小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点的纵坐标，请用树状图或表格列出点所有可能的坐标，并求出点落在如图所示的正方形网格内包括边界的概率．
  24.  本小题分
如图，在中，为钝角．
尺规作图：在边上确定一点，使不写作法，保留作图痕迹，并标明字母；
在的条件下，若，，，求的面积．
25.  本小题分
如图，为的直径，，为上的两点，，过点做直线，交的延长线于点，连接．
求证：是的切线．
若，，求劣弧的长．
26.  本小题分
为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的．
求两种型号电脑单价分别为多少元；
学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？27.  本小题分
如图，矩形中，，．

点是边上一点，将沿直线翻折，得到．
如图，当平分时，求的长；
如图，连接，当时，求的面积；
点为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．28.  本小题分
如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线过点，与轴交于点、．
求该抛物线的解析式．
如图，点在抛物线上，横坐标为是抛物线上的动点，且在直线上方若恒成立，求点的横坐标的取值范围．
如图，连接，点为轴上一动点，将绕点逆时针旋转，得到，若的边与抛物线有交点，直接写出的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
故选：．
根据算术平方根的计算方法计算即可．
本题主要考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故函数中自变量的取值范围是．
故选：．
根据分式有意义的条件，分母不等于，可以求出的范围．
本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 3.【答案】 【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、和不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：．
根据合并同类项法则可得、B错误，根据同底数幂的除法可得C正确，根据幂的乘方可得D正确．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方，关键是掌握各计算法则．
 4.【答案】 【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是假命题；
B.三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；
C.四边相等的四边形是菱形，是真命题；
D.有一个角是直角的菱形是正方形，是真命题；
故选：．
根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定即可求出答案．
本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别，关键是根据矩形、正方形、平行四边形、菱形的判定解答．
 5.【答案】 【解析】解：由表格可知，出现了次，出现的次数最多，则这名学生身高的众数是；
这名学生身高按从小到大排列是：、、、、、、、、、，
则这名学生身高的中位数是；
则这名学生身高的众数和中位数分别为，；
故选：．
根据表格可以直接得到这名学生身高的众数，然后将表格中数据按从小到大的顺序排列即可得到中位数．
本题考查众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 6.【答案】 【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故选：．
利用一元二次方程的根的判别式即可得求解．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握：对于一般形式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 7.【答案】 【解析】解：根据图形可得主视图为：

故选：．
根据几何体的三视图，即可解答．
本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
 8.【答案】 【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
，
由图象可知，当时，的取值范围是或，
故选：．
根据反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得点的坐标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：连接，，，，
在矩形中，
，，
，，分别与相切于，，三点，
，
四边形，是正方形，
，
，
是的切线，
，，
，
在中，，
，
，
．
故选D．
连接，，，，在矩形中，得到，，由于，，分别与相切于，，三点，得到，推出四边形，是正方形，得到，由勾股定理列方程即可求出结果．
本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由图象可知：当时，即点与点重合，此时，
，
当时，此时点与点重合，即，连接，交于点，

则：，，，
，
，
，
，
菱形的周长为；
故选：．
根据图象可知，当时，即点与点重合，此时，进而求出菱形的面积，当时，此时点与点重合，即，连接，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．
本题考查菱形的性质和动点的函数图象，熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：．
故答案为．  12.【答案】 【解析】解：亿．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，
，得，
，
．
故答案为：．
得出，再进行计算即可．
本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：
根据完全平方公式以及分式的除法运算即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的除法以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 15.【答案】 【解析】解：扇形的弧长，
圆锥的底面半径为．
故答案为：．
易得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面半径．
考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
 16.【答案】 【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形内角和公式及外角和定理是解题的关键．
根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
解：设正多边形是边形，则
，
解得．
．
故答案为：．
 17.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
由折叠的性质可知，，
，
，
．
故答案为：．
由，和折叠的性质，易知，根据正切函数可求解．
本题考查了折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练运用三角函数解直角三角形．
 18.【答案】相离   【解析】解：在矩形中，，，
，点到距离为，
，
直线与的位置关系为相离，
故答案为：相离．
如图所示，连接，
，，
为的中点，
线段的中点为，
，
即在以为圆心，为半径的圆上运动，
作点关于的对称轴点，则，
连接，交于点，则此时取得最小值，

，，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得出点到距离为，根据圆心到直线大于半径即可得出结论；
根据题意得出在以为圆心，为半径的圆上运动，根据轴对称的性质连接，交于点，则此时取得最小值，勾股定理即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线的性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 19.【答案】解：，
，
，
，
，
，，

，
由得：，
由得：，
不等式组的解为：， 【解析】利用配方法解方程，在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
解不等式组，就是分别解两个不等式后，再根据大小小大取中，求出公共部分．
此题主要考查了配方法解一元二次方程和解一元一次不等式，解题时要注意解题步骤的准确应用，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；解不等式组，求其解集时根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，准确写出解集．
 20.【答案】解：

；


． 【解析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的混合运算进行计算即可求解；
根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解．
本题考查了整式的乘法运算，实数的混合运算，熟练掌握乘法公式以及特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的运算法则是解题的关键．
 21.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌；
由知≌，
，，
．
四边形是平行四边形． 【解析】利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等，这一判定定理容易证明≌．
由≌，容易证明且，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 22.【答案】   【解析】解：本次抽样调查的样本容量是，
故答案为：；
图中档所在扇形的圆心角的度数是，
故答案为：；
档人数为人，
档人数为人，
补全图形如下：

估计每周课外阅读时间为的学生人数是人．
由档人数及其所占百分比可得总人数；
用乘以档人数所占比例即可；
用总人数乘以档人数所占百分比求出其人数，再根据四个档次人数和等于总人数求出档人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中、档人数和所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 23.【答案】
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中点落在如图所示的正方形网格内包括边界的结果数为，
所以点落在如图所示的正方形网格内包括边界的概率． 【解析】解：随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字的小球的概率；
故答案为；
见答案．
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
直接利用概率公式求解；
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出点落在如图所示的正方形网格内包括边界的结果数，然后根据概率公式求解．  24.【答案】解：如图，点为所求作的点；

根据垂直平分平分线的性质，知：，
，
；
由知，，
过点作于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积．
 【解析】作的垂直平分线，交于，即可；
过点作于点，利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理先后求得、、的长，再利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理等，充分发挥基本图形的作用，利用线段垂直平分线的性质求解．
 25.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：为的直径，
，
，，
，，
，
的长 【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，得到，于是得到结论；
根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 26.【答案】解：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，根据题意，得：
，
解得，
经检验，是原方程的解并满足题意，
，
答：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；
设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意得：
，
解得，
由题意得，，
，
随的增大而增大，
当时费用最少，最少费用为，
台，
答：购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元． 【解析】设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，由“分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台”列出方程即可求解；
设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意可求与关系，并列出不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 27.【答案】解：四边形是矩形，
，
将沿直线翻折，得到，
，
平分，
，
，
，，
；

如图所示，延长交的延长线于点，

四边形是矩形，
，
，
将沿直线翻折，得到，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
，，
设边上的高为，则，
，
的面积；

当点、、三点共线时，分两种情况：
当在的延长线上时，

四边形是矩形，
，，，，
，，
由折叠的性质得：，，
，，
≌，
，
，
；

当在线段上时，

由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
综上所述，的长为或． 【解析】根据折叠的性质以及平分，得出，根据勾股定理，含度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；
延长交的延长线于点，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解；
分两种情况，当在的延长线上时，证明≌，当在线段上时，分别讨论即可求解．
本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 28.【答案】解：由，当时，得，
当时，，
，，
代入，得，
，
解得：，
解得：，
如图所示，过点作的平行线，

点的横坐标为，当时，
则
，，

设直线的解析式为，将点代入得，
则，解得
，

，
设过点的直线的解析式为，将点代入，得，
解得：，
线的解析式为，
联立，
解得：或，
则直线与抛物线的另一个交点为，
依题意，恒成立，
点的横坐标的取值范围为或．
解：如图所示，

，则是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
点为轴上一动点，将绕点逆时针旋转，得到，
，
根据图象可知，在直线上运动，
当与点重合时，的顶点与抛物线有交点，此时，
即，
当与点重合时，此时
时，的边与抛物线有交点，
当与点重合时，此时，
当在抛物线上，此时，，
代入抛物线解析式即：，
解得：或舍去，
当时，的边与抛物线有交点，
综上所述，或时，的边与抛物线有交点． 【解析】根据待定系数法求解析式即可求解；
过点作的平行线，根据，，，的坐标得出，结合题意，求得与抛物线的另一个交点，结合图形即可求解；
根据题意得出在直线上运动，分别求得对应顶点落在抛物线上时的的值，结合函数图象即可求解．
本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，旋转的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．