2023届四川省成都市石室中学高三下学期高考专家联测卷（四）数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省成都市石室中学高三下学期高考专家联测卷（四）数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，初三，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省成都市石室中学高三下学期高考专家联测卷（四）数学（文）试题 一、单选题1．已知全集，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合运算求解即可.【详解】解：因为所以，故选：B2．已知复数满足：，则（    ）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】利用已知先求共轭复数，再求得，利用公式求解模长即可.【详解】解：故选：D.3．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（       ）A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠【答案】B【分析】根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项错误.从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.故选：B4．已知为等差数列的前项和，，，则（    ）A．5 B．0 C． D．【答案】D【分析】由等差数列性质得，从而求得，再得后可得公差，然后求出，再由等差数列的前项和公式、等差数列的性质求得结论．【详解】设的公差为，是等差数列，则，，，又，所以，从而，，．故选：D．5．不等式的解集为（    ）A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3}【答案】B【解析】把不等式化为，求出解集即可．【详解】解：不等式可化为，即，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题．6．函数，且与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案.【详解】过原点，排除AC；当时，单调递减，开口向下，排除D.故选：B7．已知双曲线的离心率为则b的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由双曲线的离心率公式和，即可求解.【详解】由题知 ，，，.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线离心率问题，解题的关键是熟练掌握离心率公式，属于基础题.8．已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可求，由可求得，由，可求得，从而可求得点的坐标.【详解】解：由图像可知，，，又，的图像经过， ，由于，所以，点的坐标为，故选：A.9．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设公比为，根据等比数列通项公式计算可得结果.【详解】设这个数构成的等比数列的公比为，则，第四个数应为.故选：.【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，属于基础题.10．如图，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，现有下列命题：①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC；③AC⊥PB；④PC⊥BC．其中真命题的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理判断作答.【详解】因AB为圆O的直径，C为圆上异于A、B的任一点，则，又平面，有为锐角，平面，于是得，又，平面，从而得平面，平面，有，①②④正确；假定，又，，必有平面，与为的锐角矛盾，③不正确，所以真命题的个数是3.故选：C11．四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（    ）A． B． C． D．6【答案】B【分析】由题意结合选项可特殊化处理，即取与底面垂直，求得的轨迹，结合球的表面积求解．【详解】若不成立， 如上图，当重合时，此时的轨迹为平面内的一段弧，且以为圆心，故球心在过且垂直于平面的直线上.如下图，当在上变化时，对于确定的，当变化时，的轨迹为一段弧，球心在过且垂直于、弧所在的平面的直线上，该直线与直线的交点即为球心.因为不成立，故球心会随着的变化而变化，这样与的轨迹是球面的一部分矛盾.故，而平面，，故底面，是上的动点，底面，可得，又为的中点，，即的轨迹是以为球心，以为半径的球面，其表面积为，得．故选：B．12．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指数对数的运算性质，利用中间值0，进行比较大小即可求得.【详解】，；且，；，.所以故选：C 二、填空题13．设向量，则__________．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求出m，然后得的坐标，再由向量模的坐标公式可得.【详解】向量，，则，，则，.故答案为：.14．如图，在边长为2的正方形的内部随机取一点，则的面积大于的概率为______．【答案】##0.25【分析】当的面积等于时，得点到的距离为，即点到的距离为，即的面积大于时点在长、宽分别为2，的矩形内．结合几何概型的计算公式即可求解.【详解】如图，因为正方形的边长为2，当的面积等于时，设点到的距离为，由，解得.此时点到的距离为.所以当点到的距离大于时，的面积大于，易得点在长、宽分别为2，的矩形内．由几何概型的公式可得，的面积大于的概率为．故答案为：. 三、双空题15．已知点在不等式组表示的平面区域上运动，（1）若区域表示一个三角形，则的取值范围是______；（2）若，则的最小值是______.【答案】          【分析】（1）画出可行域，根据图形判断即可；（2）当时，确定约束条件表示的可行域，然后确定取得最小值的位置，解出最小值.【详解】因为直线与的交点为，如图所示，所以要使不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是.当时，作出可行域，如图：由图可知，当直线经过点时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，较容易，解答的关键在于平面可行域的确定及目标函数取得最值的条件. 四、填空题16．已知抛物线：的焦点是，过点的直线与抛物线交于两点，分别过两点作直线：的垂线，垂足分别为.若，则直线的斜率_______.【答案】【分析】设直线的方程为，，，根据相似得到，解得，，得到答案.【详解】设直线的方程为，，.因为，所以.作垂直轴，垂足为.作垂直轴，垂足为.则.从而，即，解得.因为在抛物线上，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查了根据直线和抛物线的位置关系求斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 五、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，.已知点在边上（不含端点），.(1)证明：；(2)若，，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行角换边，得，通过化简即可证明；（2）由余弦定理得，结合（1）中结论得到，解出值检验即可.【详解】（1）若时，则点与点重合，不满足题意，故，因为，所以，所以，由正弦定理及余弦定理得，即，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由及，，得，由（1）知，所以，所以，整理得，令得：，即，解得，，（舍去），由，得，而舍去，故所以.18．2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心､顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表. 男女合计喜爱30 40不喜爱 40 合计  100 (1)将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？(2)在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中.  【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）根据题意进行数据分析，完善列联表，套公式求出，对照参数下结论；（2）利用古典概型的概率公式求解.【详解】（1）由题意进行数据分析，得到列联表如下： 男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100 计算所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关.（2）不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a、b，女观众4人，记为1、2、3、4.从6人中抽取2人，有：，共15个.记“所抽2人至少有一位男性”为事件A,包含：，共9个.所以.19．如图，在梯形中，平面，平面．（1）求证：；（2），求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明平面，进而可得线线垂直；（2）先由题意，得到点到平面的距离为，，，设点到平面的距离为，根据等体积法，由求解，即可得出结果.【详解】（1）因为平面，平面，所以．     因为，所以，则有，      因为平面平面，所以，则有四点共面．     又，所以平面，因为平面，所以．     （2）由（1）可知，平面，所以点到平面的距离为．在中，，，，在中，，，，   设点到平面的距离为，由（1）可知，平面，平面，所以平面，所以      由得，，       所以，即点到平面的距离为．【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求点到面积的距离，熟记线面垂直的判定定理与性质，以及等体积法求线面距离即可，属于常考题型.20．已知椭圆，分别为的右顶点、下顶点．(1)求以原点O为圆心，且与直线AB相切的圆的方程；(2)过作直线的垂线，分别交椭圆于点，若，求的值；(3)设，，直线过点的两条相互垂直的直线，直线与圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，求面积的最大值．【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据题意求得直线的方程，利用圆与直线相切求出圆的半径，即可求解；（2）求出AD和BC的方程，分别与椭圆方程联立求出D和C的横坐标，根据，转化为，即可求解；（3）求得椭圆的方程，分别气的当直线的斜率不存在或0时，的面积，当直线的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为，利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积的表达式，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆，可得，可得直线，即，设该圆的半径为，则圆心到直线的距离为，即，所以圆的方程为，即以原点O为圆心，且与直线AB相切的圆的方程为.（2）由题意，可得直线的方程为，联立方程组，解得，同理：直线的方程为，与椭圆联立，解得，因为，可得，即，整理得，即，可得，所以.（3）解：由，，可得椭圆的方程为，且 当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点，不合题意；当直线的斜率为0时，此时可得；当直线的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为，则点到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得，因为，所以直线的方程为，联立方程组，解得，即，可得，所以，令，则，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，又由，所以面积的最大值为.21．已知，且，函数.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而可证明出当时，，即可证得结论成立；（2）分、两种情况讨论，在时验证不等式成立，在时，由参变量分离法得出，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可求得实数的取值范围.综合可得出结果.【详解】（1）作函数，显然，又，当时，，在上为增函数，当时，，为上的减函数，所以，当时，，即，因此，；（2）当时，成立，此时；当时，由得：，令，则，令，则，所以，函数在上单调递增，所以，，所以，当时，，此时，函数单调递增；当时，，此时，函数单调递减.所以，，则，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用利用导数证明函数不等式、利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查参变量分离法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)设射线和射线分别与曲线交于两点，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；（2）求出，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．【详解】（1）易知曲线的普通方程：，因为，，所以曲线的极坐标方程为：，即.（2）由题意及（1）知，，∴，因为，则，所以当，即时，的面积最大，最大值是.23．关于x的不等式的解集为．(1)求m的值；(2)若，且，，，证明．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）对分类讨论即可求解；（2）运用换元法，基本不等式进行证明即可.【详解】（1）若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为．若，∴，即．∴，解得，综上所述，即，（2）设，，，且，，．∴，∴，∵，，，∴（当且仅当时等号成立）.