2023届四川省成都市石室中学高三下学期高考专家联测卷（四）数学（理）试题含解析

这是一份2023届四川省成都市石室中学高三下学期高考专家联测卷（四）数学（理）试题含解析，共23页。试卷主要包含了单选题，初三，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省成都市石室中学高三下学期高考专家联测卷（四）数学（理）试题 一、单选题1．已知，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的值域，集合的交集运算即可．【详解】易知，，所以．故选：B2．已知复数z满足，则 （    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.【详解】由题意知复数z满足，即，故选：C3．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（       ）A．高三年级学生平均学习时间最长B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C．大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠【答案】B【分析】根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项错误.从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.故选：B4．已知为等差数列的前项和，，，则（    ）A．5 B．0 C． D．【答案】D【分析】由等差数列性质得，从而求得，再得后可得公差，然后求出，再由等差数列的前项和公式、等差数列的性质求得结论．【详解】设的公差为，是等差数列，则，，，又，所以，从而，，．故选：D．5．设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，，，都有成立，（1）不等式解集为（2）不等式解集为（3）不等式解集为（4）不等式解集为其中成立的是（    ）.A．（1）与（3） B．（1）与（4）C．（2）与（3） D．（2）与（4）【答案】A【分析】对于（1）（2）令n＝0得的单调性，分两种情况解决；对于（3）（4）构造函数，根据判断单调性，由求解即可.【详解】当n＝0时，则即为，∴在上为增函数，∵偶函数的定义域为，∴在上为减函数，当时，则，得，∴，解得，当时，得 ，解得且，∴（1）正确，（2）错误；设，则，∴是偶函数，且在上为增函数，∵∴不等式即，∴，解得或，∴不等式解集为，∴（3）正确，（4）错误.故选：A6．函数，且与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案.【详解】过原点，排除AC；当时，单调递减，开口向下，排除D.故选：B7．已知双曲线过点且渐近线为，则下列说法正确的个数的是（    ）（1）双曲线的方程为，（2）双曲线的离心率为，（3）曲线经过的一个焦点，（4）过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线截双曲线的弦长为.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程为，代入，求出，得到双曲线方程；根据双曲线方程求出离心率及焦点坐标，判断出（2）（3）；中，令，解得，故（4）正确.【详解】因为渐近线为，所以可设双曲线方程为，将代入得：，即，故双曲线方程为；（1）正确；由题意得：，故，故离心率为，（2）错误；双曲线的焦点坐标为，而，所以经过焦点坐标，（3）正确；中，不妨令，则，解得：，故过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线截双曲线的弦长为，（4）正确.故选：C8．已知函数的部分图像如图所示，则点的坐标为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可求，由可求得，由，可求得，从而可求得点的坐标.【详解】解：由图像可知，，，又，的图像经过， ，由于，所以，点的坐标为，故选：A.9．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式即可求得，从而求得即可．【详解】根据题意，不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为，公比为，则，所以，即，所以新插入的第4个数为．故选：B．10．如图，内接于圆O，AB为圆O的直径，AB＝10，BC＝6，平面ABC，E为AD的中点，且____________，则点A到平面BCE的距离为（    ）①异面直线BE与AC所成角为60°；②三棱锥D−BEC的体积为注：从以上两个条件中任选一个，补充在横线上并作答．A． B． C． D．【答案】C【分析】选①：在点C建立空间坐标系，结合直线BE与AC所成角为60°计算出点E坐标，得出CE长度，再用等体积法算点A到平面BCE的距离.选②：先利用三棱锥体积关系算出CD长度，再得出CE的长度，结合等体积法计算点A到平面BCE的距离.【详解】选①:AB为圆O的直径，且AB＝10，BC＝6，为直角三角形，AC=8，如图建立空间坐标系，,设，则，,，,且,E为AD的中点，，,;.选②：AB为圆O的直径，且AB＝10，BC＝6，为直角三角形，AC=8，又平面ABC，,设CD=h,E为AD的中点，且三棱锥D−BEC的体积为，,,,,中，,,面ACD,面ACD,,,;.故选：C.11．四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（    ）A． B． C． D．6【答案】B【分析】由题意结合选项可特殊化处理，即取与底面垂直，求得的轨迹，结合球的表面积求解．【详解】若不成立， 如上图，当重合时，此时的轨迹为平面内的一段弧，且以为圆心，故球心在过且垂直于平面的直线上.如下图，当在上变化时，对于确定的，当变化时，的轨迹为一段弧，球心在过且垂直于、弧所在的平面的直线上，该直线与直线的交点即为球心.因为不成立，故球心会随着的变化而变化，这样与的轨迹是球面的一部分矛盾.故，而平面，，故底面，是上的动点，底面，可得，又为的中点，，即的轨迹是以为球心，以为半径的球面，其表面积为，得．故选：B．12．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指数对数的运算性质，利用中间值0，进行比较大小即可求得.【详解】，；且，；，.所以故选：C 二、填空题13．设，是x，y轴正方向上的单位向量，，，则向量，的夹角为______．【答案】【分析】分别求出，的表达式，利用定义求出，的夹角即可.【详解】①，②,得，得，，14．已知的展开式中的各项系数和为，则该展开式中的常数项为______.【答案】－120【分析】的展开式中各项系数的和为，令，求出，再求出展开式中的常数项即可.【详解】的展开式中，各项系数的和为，令，，，∴其中的展开式中的项为，即，的展开式中的项为，即，展开式中的常数项为.故答案为：. 三、双空题15．已知点在不等式组表示的平面区域上运动，（1）若区域表示一个三角形，则的取值范围是______；（2）若，则的最小值是______.【答案】          【分析】（1）画出可行域，根据图形判断即可；（2）当时，确定约束条件表示的可行域，然后确定取得最小值的位置，解出最小值.【详解】因为直线与的交点为，如图所示，所以要使不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是.当时，作出可行域，如图：由图可知，当直线经过点时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，较容易，解答的关键在于平面可行域的确定及目标函数取得最值的条件. 四、填空题16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________．【答案】0【分析】设过的直线交抛物线于，，，，，联立方程组，利用韦达定理可得.【详解】设过的直线交抛物线于，，，，，联立方程组，得：，于是，有：，，，又，.故答案为：０ 五、解答题17．在中，角，，的对边分别为，，.已知点在边上（不含端点），.(1)证明：；(2)若，，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行角换边，得，通过化简即可证明；（2）由余弦定理得，结合（1）中结论得到，解出值检验即可.【详解】（1）若时，则点与点重合，不满足题意，故，因为，所以，所以，由正弦定理及余弦定理得，即，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由及，，得，由（1）知，所以，所以，整理得，令得：，即，解得，，（舍去），由，得，而舍去，故所以.18．2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表. 男女合计喜爱看世界杯602080不喜爱看世界杯4080120合计100100200 (1)试根据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱观看世界杯与性别有关联?(2)在喜爱观看世界杯的观众中，按性别用分层抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取人参加某电视台的访谈节目，设参加访谈节目的女性观众与男性观众的人数之差为，求的分布列.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828  【答案】(1)喜爱观看世界杯与性别有关联(2)分布列详见解析 【分析】（1）计算的值，由此作出判断. （2）根据分布列的求法求得的分布列.【详解】（1）零假设为喜爱观看世界杯与性别无关联.根据列表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以喜爱观看世界杯与性别有关联.（2）按照分层抽样的方式抽取人，其中男观众人，女观众人，的可能取值为，，所以的分布列为： 19．如图1，在中，是直角，，是斜边的中点，分别是的中点．沿中线将折起，连接，点是线段上的动点，如图2所示． (1)求证：平面；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角的余弦值为时．求的值．条件①：；条件②：．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：.可以证明出两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.选条件②：.先证明出两两垂直，以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）在中，因为分别是的中点，所以.因为面,面,所以平面.（2）在中，是直角，，P是斜边的中点，所以，即.选条件①：.因为，，,面,面,所以面.又，可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.在中，是直角，，P是斜边的中点，所以.所以，，.因为分别是的中点，所以，，所以，.因为点是线段上的动点，所以可设,所以.不妨设为平面的一个法向量，则，设，则.显然为面的一个法向量.所以二面角的余弦值为.由题意可得：，解得：.所以.选条件②：.在中，是直角，，P是斜边的中点，所以..因为，所以，所以.所以可以以原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.则，，.因为分别是的中点，所以，，所以，.因为点是线段上的动点，所以可设,所以.不妨设为平面的一个法向量，则，设，则.显然为面的一个法向量.所以二面角的余弦值为.由题意可得：，解得：.所以.20．设分别是椭圆的左、右焦点，过点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，点到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．(1)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，求实数的取值范围；(2)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值．【答案】(1)(2)实数的值为 【分析】（1）设直线的方程，利用点到直线的距离求出c，由菱形的面积求出a、b，进而求出椭圆方程.设，利用平面向量线性运算的坐标表示点E的坐标，代入椭圆方程可得，即可求解；（2）设，直线的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示线段的中点坐标，分类讨论当、时的情况，结合向量数量积的坐标表示，化简计算即可求解.【详解】（1）设点的坐标分别为，其中．由题意可得，直线的方程为．因为点到直线的距离为3，所以，解得，所以①，因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即②．联立①②，解得，故椭圆的方程为．设．因为，所以，所以，代入椭圆的方程得，所以，解得或，即实数的取值范围为；（2）由，根据题意可知直线的斜率存在，可设直线的斜率为，则直线的方程为．设．把代入椭圆的方程，消去整理得．由韦达定理，得，则，所以线段的中点坐标为．①当时，，线段的垂直平分线为轴，于是．由，解得．②当时，线段的垂直平分线的方程为．由点是线段的垂直平分线上一点，令，得．因为，所以，解得，所以．综上所述，实数的值为．21．已知函数，.(1)若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；(2)若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据题意恒成立，分离参数，结合三角函数有界性，即可求得结果；（2）对分离参数，并构造函数，利用导数判断其单调性，结合洛必达法则求解其极限，即可求得参数范围.【详解】（1）∵函数在上单调递增，∴恒成立，∴，即，∴，即实数的最小值为.（2）∵，∴函数，由（1）可得在上单调递增，故当，，即，由对任意都成立，得恒成立.即恒成立.①当，恒成立；②当，恒成立；③当时，即：恒成立；令，则∴在上单调递增；由洛必达法则：，故，即实数的取值范围为.初等方法解决：∵，∴函数，∵，∴.对于任意，令，则①当，即时，，∴在上为单调递增函数，∴，符合题意，∴.②当，即时，令，于是.∵，∴，∴，∴在上为单调递增函数，∴，即，∴.①当，即时，，∴在上为单调递增函数，于是，符合题意，∴.②当，即时，存在，使得当时，有，此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)设射线和射线分别与曲线交于两点，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；（2）求出，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．【详解】（1）易知曲线的普通方程：，因为，，所以曲线的极坐标方程为：，即.（2）由题意及（1）知，，∴，因为，则，所以当，即时，的面积最大，最大值是.23．关于x的不等式的解集为．(1)求m的值；(2)若，且，，，证明．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）对分类讨论即可求解；（2）运用换元法，基本不等式进行证明即可.【详解】（1）若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为．若，∴，即．∴，解得，综上所述，即，（2）设，，，且，，．∴，∴，∵，，，∴（当且仅当时等号成立）.