数学选择性必修第一册4.1 数列第2课时学案

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第2课时　数列的通项公式与递推公式新课程标准学业水平要求1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式等).2.了解数列是一种特殊函数.1.理解数列的几种表示方法,能从函数的观点研究数列.(逻辑推理)2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算)3.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.(逻辑推理、数学运算)古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数,因为这些数目的点总可以摆成一个三角形,如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列,就能构成一个数列{an}.【问题】a2与a1,a3与a2,a4与a3之间分别存在怎样的等量关系?1.递推公式(1)概念:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.(2)作用:已知首项和递推公式,可求出数列的任何一项.1.通项公式与递推公式的区别:①通项公式反映的是an与n的关系,递推公式反映的是项与项之间的关系;②若已知n的值,则由通项公式可直接求出an的值,而通过递推公式只能间接求出an的值.2.利用递推公式求一个数列,必须具备:①数列第1项或前几项;②递推关系.这两个条件缺一不可.(1)数列1,2,4,8,…的第n项an与第n+1项an+1有什么关系?(2)所有的数列都有递推公式吗?提示:(1)an+1=2an;(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式,如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式.2.数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法,以数列2,4,6,8,10,12,…为例,表示如下:①通项公式法:an=2n.②递推公式法:③列表法:n123…k…an246…2k…④图象法:数列各表示方法的优缺点表示法优点缺点通项公式法便于求出数列中任意指定的一项,也有利于对数列性质的研究有些数列没有通项公式表格法内容具体,方法简单,给定数列的序号,不用计算,可查表得到相应项要确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难图象法能直观形象地表示出随着序号的变化,相应项变化的趋势,直观明了数列项数较多时用图象表示比较困难递推公式法可以揭示数列的一些性质,如前后几项之间的关系不容易了解数列的全貌,计算也不方便仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N*)就能确定这个数列吗?提示:不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始值,那么这个数列是不能确定的.3.数列的前n项和的概念数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.　如何用Sn和Sn-1的代数式表示an?提示:an=1.数列满足an+1=3an-1,a1=1,则a3= (　　)A.5　　　B.3　　　C.2　　　D.1【解析】选A.依题意,由an+1=3an-1,a1=1,可知a2=3a1-1=2,a3=3a2-1=5.2.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是 (　　)A.an=an-1+2(n≥2)B.an=2an-1(n≥2)C.a1=2,an=an-1+2(n≥2)D.a1=2,an=2an-1(n≥2)【解析】选C.A,B中没有说明某一项,无法递推,D中a1=2,a2=4,a3=8,不符合.3.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是 (　　)A.递增数列   B.递减数列C.常数列    D.不能确定【解析】选A.由an+1-an-3=0,得an+1-an=3>0,所以数列{an}是递增数列.4.记Sn为数列的前n项和,若Sn=2an+1,则a1=__________. 【解析】因为Sn=2an+1,所以当n=1时,S1=a1=2a1+1,解得a1=-1.答案:-15.已知数列的前n项和为Sn,若Sn=2n-1,则a8=________. 【解析】因为数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2n-1,所以a8=S8-S7=28-1-=27=128.答案:128类型一　由递推公式求固定项(数学运算)1.已知数列满足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,则a5的值为 (　　)A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8【解析】选A.由题意a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3,a5=a4+a3=5.2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3,则a4= (　　)A.67 B.115 C.31 D.127【解析】选D.因为数列{an}满足a1=1,an+1=4an+3,所以a2=4a1+3=7,a3=4a2+3=31,a4=4a3+3=127.3.数列满足an+1=,a5=2,则a1=________. 【解析】因为an+1=,a5=2,令n=4,2=,所以a4=,令n=3,=,所以a3=-1,令n=2,-1=,所以a2=2,令n=1,2=,所以a1=.答案:由递推公式求数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.类型二　由递推公式求通项公式(逻辑推理)【典例】1.在数列中,a1=2,2an+1=2an+n,则a9等于 (　　)A.20  B.30  C.36  D.28【解析】选A.因为a1=2,2an+1=2an+n,所以an+1-an=,所以a9=+(a8-a7)+…++a1,所以a9=++…++2=+2=20.2.设数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求通项公式an.【解析】因为a1=1,an=an-1(n≥2),所以=,an=×××…×××a1=×××…×××1=.又因为n=1时,a1=1,符合上式,所以an=(n∈N*).由递推公式求通项公式的方法(1)累加法:形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈N*)求通项公式;(2)累乘法:形如=f(n)的递推公式,可以利用a1···…·=an(n≥2,n∈N*)求通项公式.1.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1,且a1=1,则a100=________. 【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1,即=,则a100=a1···…·=1×××…×=5 050.答案:5 0502.已知数列{an}满足a1=,anan-1=an-1-an(n≥2),求数列{an}的通项公式.【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.所以=+(-)+(-)+…+(-)=2+=n+1.所以=n+1(n≥2),又a1=也适合上式,所以an=.　　　【加固训练】1.(2022·荆州高二检测)在数列中,a1=1,=,则a10=__________. 【解析】由已知a10=··…··a1=××…××1=.答案:2.(2022·眉山高二检测)已知数列中,a1=1,an+1=-,则a2 021= (　　)A.1　　B.-　　C.-2　　D.-1【解析】选B.当n=1时,a2=-=-,当n=2时,a3=-=-2,当n=3时,a4=-=1,当n=4时,a5=-=-,所以数列的周期为3,因为2 021=3×673+2,所以a2 021=a2=-.类型三　由前n项和求通项公式(数学运算、逻辑推理)【典例】1.(2022·北师大附中高二检测)数列的前n项和Sn=3n2,则an=__________. 【解析】①当n=1时,a1=S1=3,②当n≥2时Sn-1=3=3n2-6n+3,an=Sn-Sn-1=6n-3,当n=1时上式也符合,所以an=6n-3.答案:6n-32.已知数列的前n项和Sn=2n2+n-5,那么它的通项公式是__________. 【解析】①当n=1时,a1=S1=2+1-5=-2;②当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+n-5)-[2(n-1)2+(n-1)-5]=4n-1,当n=1时,4n-1=4-1=3≠-2,综上,an=答案:an=　　　【加固训练】数列的前n项和为Sn,Sn=n2-n,则其通项公式an=________. 【解析】①当n=1时,a1=S1=0;②当n≥2时Sn-1=-=n2-3n+2,an=Sn-Sn-1=2n-2,当n=1时上式也符合.所以an=2n-2.答案:2n-2【结论通通用】当Sn是二次式时,若Sn有常数项,则an分段,若Sn没有常数项,则an不分段.计算an=Sn-Sn-1时,同次项分别相减,并运用平方差公式,能有效减少运算.由前n项和求通项公式的步骤(1)先利用a1=S1,求出a1;(2)用n-1(n≥2)替换Sn中的n得到一个新的关系Sn-1,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式;(3)注意检验n=1时的值是否符合n≥2时an的解析式,若符合,则合并;若不符合,则用分段函数表示通项公式an.1.已知数列的前n项和Sn=n2+1,则a1+a5=__________. 【解析】由Sn=n2+1得a1=12+1=2,a5=S5-S4=(52+1)-(42+1)=9,故a1+a5=2+9=11.答案:112.已知数列的前n项和为Sn=n2-2n+2,则数列的通项公式为__________. 【解析】an=,而S1=1-2+2=1,当n≥2时,Sn-Sn-1=n2--2=2n-3,故an=答案:an=　　　【加固训练】设Sn是数列的前n项和,若Sn=n2+2n,则a2 021= (　　)A.4 043　　B.4 042　　C.4 041　　D.2 021【解析】选A.方法一:a2 021=S2 021-S2 020=2 0212-2 0202+2×2 021-2×2 020=4 043.方法二:因为Sn=n2+2n,所以当n=1时a1=S1=3,当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1.当n=1时也适合上式,所以an=2n+1,a2 021=2×2 021+1=4 043. 关闭Word文档返回原板块