北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件综合训练题

这是一份北师大版七年级下册3 探索三角形全等的条件综合训练题，文件包含初一数学北师大版春季班第10讲全等辅助线一-提高班教师版docx、初一数学北师大版春季班第10讲全等辅助线一-提高班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
第10讲 全等辅助线（一）知识点1 截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段.如图，在线段上截取. 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等.如图，延长到点D，使得.【典例】例1 （2020秋•淇滨区校级月考）“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　EF＝BE+FD　．探索问题：（2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【方法总结】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键． 【随堂练习】1．（2020秋•思明区校级期中）如图，放置的是一副斜边相等的直角三角板，其中AB＝BC，连接BD交公共的斜边AC于O点．（1）证明：BD平分∠ADC；（2）求∠COD的度数．【解答】（1）证明：过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAE+∠BCD＝180°，∵∠BCF+∠BCD＝180°，∴∠BCF＝∠BAE，∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，∴BD平分∠ADC；（2）解：∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝∠BCF＝75°，∵∠OCF＝COD+∠ODC，∠BCO＝∠ODC＝45°，∴∠BCF＝∠COD＝75°．知识点2 倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶角相等的全等三角形；其本质是转移边和角．例如：其中，延长使得，则．【典例】例1 （2020秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是BC边的中点，线段EF∥AD交线段AB于点G，交线段CA的延长线于点F．（1）若CF＝6，AG＝2，求AC的长；（2）求证：BG＝CF．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AD∥EF，∴∠DAC＝∠F，∠BAD＝∠FGA，∴∠F＝∠FGA，∴AG＝AF，∵CF＝6，AG＝2，∴AC＝CF﹣AF＝CF﹣AG＝6﹣2＝4；（2）作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．【方法总结】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，掌握中线倍长法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．例2（2019春•牡丹区期末）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的延长BD至E使DE＝BD连结CE利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是　SAS　；中线BD的取值范围是　1＜BD＜9　．（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN．求证：AM+CN＞MN．【解答】（1）解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE﹣BC＜BE＜CE﹣BC，∴10﹣8＜AE＜10+8，即2＜BE＜18，∴1＜BD＜9；故答案为：SAS；1＜BD＜9； （2）证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图2所示：同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），∴AF＝CN，∵DM⊥DN，FD＝ND，∴MF＝MN，在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF，∴AM+CN＞MN【方法总结】主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•温岭市期中）（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．求证：BE+CF＞EF．【解答】证明：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图1．则AE＝2AD，在△ABD与△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝EC，在△ACE中，有AC+CE＞AE，即AC+AB＞2AD；（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接CG，FG，如图2．∵FD垂直平分EG，∴EF＝FG，在△EDB与△GDC中，，∴△EDB≌△GDC（SAS），∴BE＝CG，在△FCG中，CF+CG＞FG，即CF+BE＞EF． 综合运用1．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长x的取值范围（　　）A．5≤x≤8 B．4≤x≤7 C．1＜x＜4 D．【解答】解：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD，在△EDB和△ADC中，，∴△EDB≌△ADC（SAS），∴BE＝AC＝3，∵△ABE中，AB＝5，∴AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜AE＜8，∵AE＝2AD，∴1＜AD＜4，即1＜x＜4．故选：C．2．（2019秋•武冈市期中）如图，AC是△ABD的中线，AD是△ABE的中线，BA＝BD，求证：AE＝2AC．【解答】解：延长AC到点F，使AC＝CF，连接DF，∵AC是△ABD的中线，∴BC＝DC．∵∠ACB＝∠FCD，∴△ABC≌△FDC（SAS）．∴∠B＝∠FDC，DF＝BA，又∵BA＝BD，AD是△ABE的中线，∴∠BAD＝∠BDA，DF＝DE，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝∠FDC+∠BDA＝∠ADF，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF＝2AC．3．（2019秋•下陆区期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　．A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL（2）求得AD的取值范围是　C　．A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF． 求证：AC＝BF．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选C． （3）证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB，∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF．日期：2021/1/28 21:03:33；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626 4．（2020春•姑苏区期末）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝SABC+SABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为　2　cm2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．【解答】解：（1）由题意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：2（cm2），即四边形ABCD的面积为2cm2，故答案为：2；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，，∴△HFM≌△OFM（SSS），∵△OFM的面积是：2cm2，∴△HFM的面积是2cm2，∴四边形HFOM的面积是4cm2，∴五边形FGHMN的面积是4cm2．日期：2021/1/28 20:12:03；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626