数学北师大版 (2019)3.1 向量的数乘运算导学案

这是一份数学北师大版 (2019)3.1 向量的数乘运算导学案，共12页。

2.3.2 向量的数乘与向量的共线的关系

1.数乘向量及运算律
(1)向量的数乘定义
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.它的方向和长度规定如下：
①当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0；
②|λa|＝|λ||a|.
(2)向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：
①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；
②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.
说明：(1)λa的实数λ叫作向量a的系数；
(2)向量数乘运算的本质是沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小；
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是向量0，而不是数0.
2.共线(平行)向量基本定理
(1)定理：给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝________.
(2)定理的含义
3.直线的向量表示
eq \(AP,\s\up16(→))＝teq \(AB,\s\up16(→))表示过点A，B的直线l，其中eq \(AB,\s\up16(→))称为直线l的方向向量．
答案：1.(1)①相反
2.(1)λb

研习1 向量的线性运算
[典例1] (1)化简：eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b)).
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)．
[自主记]
[分析] 将各式子中的括号去掉，合并同类项进行化简．
[解] 原式＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b.
(2)[解] 原式＝eq \f(1,3)a－b－a＋eq \f(2,3)b＋2b－a
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1－1))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,3)＋2))b
＝－eq \f(5,3)a＋eq \f(5,3)b＝－eq \f(5,3)(3i＋2j)＋eq \f(5,3)(2i－j)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5＋\f(10,3)))i＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j＝－eq \f(5,3)i－5j.
[巧归纳] 1.向量的加法、减法以及数乘运算统称为向量的线性运算．形式上类似于实数加、减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用．
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解．
[练习1] 已知向量a，b.
(1)计算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；
(2)把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出来．
解：(1)原式＝6a－(4a－b－10a＋15b)＋a＋7b
＝6a－(－6a＋14b)＋a＋7b
＝6a＋6a－14b＋a＋7b＝13a－7b.
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＝a，①,－4x＋3y＝b，②))
①×4＋②×3，得
(12x－8y)＋(－12x＋9y)＝4a＋3b.
即y＝4a＋3b，代入①式，
得x＝eq \f(1,3)(a＋2y)＝eq \f(1,3)(a＋8a＋6b)＝3a＋2b，
∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
研习2 用已知向量表示未知向量
[典例2] 如图所示，四边形OADB是以向量eq \(OA,\s\up16(→))＝a，eq \(OB,\s\up16(→))＝b为邻边的平行四边形．又BM＝eq \f(1,3)BC，CN＝eq \f(1,3)CD，试用a，b表示eq \(OM,\s\up16(→))，eq \(ON,\s\up16(→))，eq \(MN,\s\up16(→)).
[自主记]
[分析] 先用向量a，b表示出向量eq \(BM,\s\up16(→))，进而表示eq \(OM,\s\up16(→))与eq \(ON,\s\up16(→))，而eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(ON,\s\up16(→))－eq \(OM,\s\up16(→))，问题得解．
[解] ∵eq \(BM,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,6)eq \(BA,\s\up16(→))
＝eq \f(1,6)(eq \(OA,\s\up16(→))－eq \(OB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,6)(a－b)，
∴eq \(OM,\s\up16(→))＝eq \(OB,\s\up16(→))＋eq \(BM,\s\up16(→))＝b＋eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b.
∵eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up16(→))＝eq \f(1,6)eq \(OD,\s\up16(→))，
∴eq \(ON,\s\up16(→))＝eq \(OC,\s\up16(→))＋eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(OD,\s\up16(→))＋eq \f(1,6)eq \(OD,\s\up16(→))
＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→)))＝eq \f(2,3)(a＋b)．
∴eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(ON,\s\up16(→))－eq \(OM,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)(a＋b)－eq \f(1,6)a－eq \f(5,6)b＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b.
[巧归纳] 1.向量数乘运算的几何意义是沿向量a的方向或相反方向伸长或缩短，此时要注意λ的取值情况，λ>0时与a方向相同，λ<0时与a方向相反．
2.由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则，以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用．
[练习2] 1.设a是非零向量，λ是非零实数，则下列命题中正确的个数为( )
①a与－λa的方向相反；
②|－λa|≥|a|；
③a与λ2a方向相同；
④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
A.1B．2
C．3D．4
答案：B
解析：①错误．当λ>0时成立，当λ<0，a与－λa方向相同．
②错误．当λ≥1或λ≤－1时，|－λa|≥|a|；当－1<λ<1且λ≠0时，|－λa|<|a|.
③正确．因为λ2>0恒成立．
④正确．由数乘向量的定义易知．故选B.
2.如图所示，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq \(BC,\s\up16(→))＝a，eq \(BD,\s\up16(→))＝b，试用a，b分别表示eq \(DE,\s\up16(→))，eq \(CE,\s\up16(→))，eq \(MN,\s\up16(→)).
解：由三角形中位线定理，知DE綊eq \f(1,2)BC，
故eq \(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))，即eq \(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a.
∴eq \(CE,\s\up16(→))＝eq \(CB,\s\up16(→))＋eq \(BD,\s\up16(→))＋eq \(DE,\s\up16(→))
＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝－eq \f(1,2)a＋b，
eq \(MN,\s\up16(→))＝eq \(MD,\s\up16(→))＋eq \(DB,\s\up16(→))＋eq \(BN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(ED,\s\up16(→))＋eq \(DB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up16(→))
＝－eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a－b.
研习3 共线向量定理
[典例3] 已知非零向量e1和e2不共线．
(1)如果eq \(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up16(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up16(→))＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
[自主记]
[分析] (1)欲证A，B，D三点共线，只需找到一个实数λ使eq \(AB,\s\up16(→))＝λeq \(BD,\s\up16(→))即可；(2)由向量共线，则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，列出关于e1，e2的等式，即可求出k与λ的值．
[解] (1)证明：∵eq \(AB,\s\up16(→))＝e1＋e2，
eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CD,\s\up16(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up16(→))，
∴eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BD,\s\up16(→))共线，且有公共点B.
∴A，B，D三点共线．
(2)解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，
∴只能有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))则k＝±1.
[巧归纳] 利用共线向量定理常解决的三种题型为：①证明三点共线；②利用共线求待定系数；③判断向量是否共线．在理解应用时要注意以下几点：
(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a(a≠0)与b共线，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
(2)定理中之所以限定a≠0，是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不成立．
(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
[练习3] 1.已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k的值是________．
答案：－2
解析：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λk＝2，,λ＝－1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－2，,λ＝－1，))∴k＝－2.
2.已知eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OB,\s\up16(→))是不共线的两个向量，设eq \(OM,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋μeq \(OB,\s\up16(→))，且λ＋μ＝1，μ∈R.求证：M，A，B三点共线．
证明：∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ，
∴eq \(OM,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up16(→))＝λeq \(OA,\s\up16(→))＋eq \(OB,\s\up16(→))－λeq \(OB,\s\up16(→)).
∴eq \(OM,\s\up16(→))－eq \(OB,\s\up16(→))＝λ(eq \(OA,\s\up16(→))－eq \(OB,\s\up16(→))),
即eq \(BM,\s\up16(→))＝λeq \(BA,\s\up16(→))(λ∈R)．
∴eq \(BM,\s\up16(→))与eq \(BA,\s\up16(→))共线．
又∵eq \(BM,\s\up16(→))与eq \(BA,\s\up16(→))有公共点B，∴B，A，M三点共线．
1.将eq \f(1,12)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(22a＋8b－44a－2b))化简成最简式为( )
A.2a－bB．2b－a
C.a－bD．b－a
答案：B
解析：原式＝eq \f(1,12)(4a＋16b－16a＋8b)＝eq \f(1,12)[(4－16)a＋(16＋8)b]＝eq \f(1,12)(－12a＋24b)＝2b－a.
2.已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，则( )
A.λ＝0B．e2＝0
C.e1∥e2D．e1∥e2或e1＝0
答案：D
解析：当e1＝0时，显然有a∥b；
当e1≠0时，b＝2e1≠0.又a∥b，
∴存在实数μ，使a＝μb，即e1＋λe2＝2μe1，
∴λe2＝(2μ－1)e1.
又λ≠0，∴e1∥e2.
3.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的________．
答案：内心
解析：设eq \f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)为eq \(AB,\s\up16(→))上的单位向量，eq \f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)为eq \(AC,\s\up16(→))上的单位向量，则eq \f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)的方向为∠BAC的平分线eq \(AD,\s\up16(→))的方向．又λ∈[0，＋∞)，
∴λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)))的方向与eq \f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)的方向相同．
∵eq \(OP,\s\up16(→))＝eq \(OA,\s\up16(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up16(→)),|\(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\(AC,\s\up16(→)),|\(AC,\s\up16(→))|)))，
∴点P在eq \(AD,\s\up16(→))所在直线上移动．
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
4.如图，在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up16(→))＝b，eq \(AB,\s\up16(→))＝a，M为AB的中点，N为BD靠近B的三等分点．
求证：M，N，C三点共线．
证明：在△ABD中，eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \(AD,\s\up16(→))－eq \(AB,\s\up16(→))，
因为eq \(AB,\s\up16(→))＝a，eq \(AD,\s\up16(→))＝b，所以eq \(BD,\s\up16(→))＝b－a.
∵点N是BD的三等分点，
∴eq \(BN,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(b－a)．
∵eq \(BC,\s\up16(→))＝b，∴eq \(CN,\s\up16(→))＝eq \(BN,\s\up16(→))－eq \(BC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(b－a)－b
＝－eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b.①
∵M为AB的中点，∴eq \(MB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a，
∴eq \(CM,\s\up16(→))＝－eq \(MC,\s\up16(→))＝－(eq \(MB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→)))
＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))＝－eq \f(1,2)a－b.②
由①②可得eq \(CM,\s\up16(→))＝eq \f(3,2)eq \(CN,\s\up16(→)).
由共线向量定理知eq \(CM,\s\up16(→))∥eq \(CN,\s\up16(→))，
又∵eq \(CM,\s\up16(→))与eq \(CN,\s\up16(→))有公共点C，∴C，M，N三点共线．
[误区警示] 忽略限制条件致误
[示例] 下列命题正确的是( )
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
[错解] 错解一：a，b共线，必然是有且只有一个实数λ，使b＝λa，故选A.
错解二：首尾相连，始终如一．在△ABC中，eq \(AB,\s\up16(→))，eq \(BC,\s\up16(→))，eq \(CA,\s\up16(→))围成了一个封闭图形，故eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝0，故选B.
错解三：当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等号不成立；当两个向量不共线时，两个等号都不成立．故两个等号不可能同时成立，故选C.
[错因分析] 错解一：忽视了a≠0这一条件．错解
二：忽视了0与0的区别，eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BC,\s\up16(→))＋eq \(CA,\s\up16(→))＝0；错解三：忽视了零向量的特殊性，当a＝0或b＝0时，两个等号同时成立．
[正解] ∵向量a与b不共线，
∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，
即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ－1＝0，,1＋λ＝0，))λ无解，故假设不成立，
即a＋b与a－b不平行，故选D.
[题后总结] (1)书写向量的时候一定不要忘记向量符号．要注意0的特殊性，即0的方向是任意的，它与任意向量共线．
(2)解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性．
(3)判断两向量是否共线，只需看是否存在实数λ使b＝λa即可，如本题中的D选项，只需令a＋b＝λ(a－b)，若可求出λ，则共线，求不出λ，则不共线．
新课程标准
学业水平要求
通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解平面向量的线性运算的性质及其几何意义.
1.理解向量的数乘运算及其几何意义．(直观想象)
2．理解共线(平行)向量基本定理，并应用其解决相关问题．(数学抽象)
3．会利用共线(平行)向量基本定理判断三点共线及线线平行．(逻辑推理)
课前篇·自主学习预案
判定
b是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得a＝λb，则向量a与非零向量b共线．
性质
若向量a与非零向量b共线，则存在一个实数λ，使得a＝λb.
课堂篇·研习讨论导案
达标篇·课堂速测演习