北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直导学案，共15页。
5.5.2　平面与平面垂直新课程标准学业水平要求1.借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平面与平面垂直的位置关系．2．掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面垂直的位置关系.1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小．(直观想象、逻辑推理、数学运算)2．了解面面垂直的定义，理解并掌握面面垂直的性质定理及应用．(数学抽象、逻辑推理)3．掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(数学抽象、逻辑推理)4．掌握线面、面面垂直的性质与判定定理，学会综合运用定理证明垂直关系．(直观想象、逻辑推理) 课前篇·自主学习预案1.半平面一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．2．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．(2)相关概念：①这条直线称为二面角的棱，②这两个半平面称为二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－AB－β或α－l－β.(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作________于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角．如图：则二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(6)二面角的平面角θ的取值范围：0°≤θ≤180°.3．平面与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直．(2)图形表示：(3)符号表示：α⊥β，a⊂α，α∩β＝l，a⊥l⇒a⊥β.(4)作用：证明直线和平面垂直．4．平面与平面垂直的判定定理(1)语言叙述：如果一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直．(2)图形表示：(3)符号表示：l⊂α，l⊥β⇒α⊥β.答案：2.(5)垂直3．(1)交线4．(1)垂线课堂篇·研习讨论导案研习1  平面与平面垂直性质定理及应用(直观想象、逻辑推理)[题组训练][典例1]　1.已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊂m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β2．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．3．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB．[自主记]1．[答案]　D2．[答案]　直角　[解析]　设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB．因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．3．[解]　(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，所以PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，所以PG⊥BG.又因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，所以BG⊥AD．又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，所以BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB．[巧归纳]　对面面垂直的性质定理的理解(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直. 研习2  平面与平面垂直的判定(逻辑推理)[典例2]　如图所示，在四面体A－BCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求证：平面ABC⊥平面SBC．四步内容理解题意条件：在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．结论：平面ABC⊥平面SBC．思路探求求证平面ABC⊥平面SBC，可证明二面角A－BC－S为直二面角，也可以证明AD⊥平面SBC，其中D为斜边BC的中点.续表四步内容书写表达【证明】方法一：(利用定义证明)因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC均是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，所以SD＝a，BD＝＝a.在Rt△ABD中，AD＝a，在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC．方法二：(利用判定定理)因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以△ASB和△ASC均是等边三角形，所以SA＝AB＝AC，所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．因为△SBC为直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD⊥平面SBC．又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC．注意书写的规范性：在立体几何中的证明问题，需要特别注意符号语言的规范性，证明面面垂直，条件一定要写全，不能有遗漏，特别是“垂线在平面内”这个条件． 题后反思证明面面垂直的关键是在一个平面内找到另一个平面的垂线. [巧归纳]　证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．[练习1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PD的中点．(1)求证：PB∥平面AEC；(2)若PA⊥平面ABCD，PA＝AD，求证：平面AEC⊥平面PCD．证明：(1)连接BD交AC于点O，连接EO，因为O为BD中点，E为PD中点，所以EO∥PB，又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．(2)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，且AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.因为PA＝AD，E为PD中点，所以AE⊥PD．又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PDC，又AE⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面PDC． 研习3  平面与平面相交的综合问题(直观想象、逻辑推理)角度1　求二面角[典例3]　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．[自主记][解]　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，所以AC⊥BC．又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC．又因为BC是二面角P－BC－A的棱，所以∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．又因为PA＝AC，所以△PAC是等腰直角三角形，所以∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.[变式探究]将本例变为：四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，求二面角B－PA－C的大小．解：因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA．所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.即二面角B－PA－C的大小为45°.角度2　平面与平面相交的平行和垂直问题[典例4]　在四面体D－ABC中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD．[自主记][证明]　(1)因为E，F分别是AB，BD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥AD，因为EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，所以直线EF∥平面ACD．(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD．因为CB＝CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD．又EF∩CF＝F，所以BD⊥平面EFC．因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD．[解题策略]　解决二面角问题的策略(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．(2)求二面角的大小的方法：一作：即先作出二面角的平面角；二证：即说明所作角是二面角的平面角；三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．[练习2]　1.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC答案：B2．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.答案：　解析：因为侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，所以PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB，所以PB＝＝＝.3．如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解：因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥BD．由已知SC⊥ED，SE＝EC，SB＝BC．所以SC⊥BE，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BED，所以SC⊥BD．又因为BD⊥SA，SA∩SC＝S，所以BD⊥平面SAC．因为AC⊂平面SAC，所以BD⊥AC，所以BD⊂CD．同理BD⊥DE，即∠EDC是二面角E－BD－C的平面角，设SA＝1，则SA＝AB＝1，因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，可证得CB⊥SB，所以SC＝2，所以在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°.即二面角E－BD－C的大小为60°.达标篇·课堂速测演习1．下列命题中错误的是(　　)A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D　2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(　　)A．有一个   B．有两个C．有无数个   D．不存在答案：C　3．(教材二次开发：练习改编)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－BC－D的平面角的大小为(　　)A．30°   B．45°  C．60°   D．90°答案：B4．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．答案：3　解析：平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD＝2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．(1)求证：CD⊥AE；(2)试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．解：(1)因为PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.(2)PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，设BD∩AC＝O，连接OE，则平面EAC∩平面PDB＝OE，又PB⊂平面PDB，所以PB∥OE.所以在△PDB中有＝，由E是PD中点可得＝＝1，即OB＝OD．因为AB∥DC，所以＝＝，这与OB＝OD矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[方法技巧]　化归思想的运用化归与转化思想贯穿立体几何的始终，是处理立体几何问题的最基本的数学思想．[示例]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论，[思路分析]　(1)寻找AD垂直于包含PB的平面．(2)分析时结合(1)及所给图形的特征，寻找与平面DEF平行且与平面ABCD垂直的平面，进而确定F的确切位置．[解析]　(1)证明：如图所示，设G为AD的中点，连接PG，BG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD．在菱形ABCD中，∵∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD．又∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB．∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB．(2)解：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：设F为PC的中点，则在△PBC中，FE∥PB．在菱形ABCD中，GB∥DE.∵FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝ B．∴平面DEF∥平面PGB．由(1)，得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD．[题后反思]　空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等边三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．对于一些较复杂的问题，注意应用转化与化归思想解决．