专题03 函数及其图像——2023年中考数学必背知识点梳理

这是一份专题03 函数及其图像——2023年中考数学必背知识点梳理，共17页。试卷主要包含了平面直角坐标系，函数及其图象，一次函数，反比例函数，二次函数，函数的应用等内容，欢迎下载使用。

考点一、平面直角坐标系
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于；
（3）点P(x,y)到原点的距离等于.
典例1：（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 （﹣2023，2022） ．
【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），由2022＝505×4+2，推出D2022（﹣2023，2022）．
【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，
∴D1（1，2），
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），
∵2022＝4×505+2，
∴D2022（﹣2023，2022）；
故答案为：（﹣2023，2022）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
考点二、函数及其图象
由函数解析式画其图像的一般步骤：
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.
考点三、一次函数
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，
典例2：（2022•柳州）如图，直线y1＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y2＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【分析】由于P的纵坐标为2，故点P在直线y＝2上，要求符合题意的m值，则P点为直线y＝2与题目中两直线的交点，此时m存在最大值与最小值，故可求得．
【解答】解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，
∴点P在直线y＝2上，如图所示，
当P为直线y＝2与直线y2的交点时，m取最大值，
当P为直线y＝2与直线y1的交点时，m取最小值，
∵y2＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，
y1＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，
∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．
则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，要求符合题意的m值，关键要理解当P在何处时m存在最大值与最小值，由于P的纵坐标为2，故作出直线y＝2有助于判断P的位置．
需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.
典例3：（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），与直线OC交于点C（8，3）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，将△ACD沿射线CB平移得到的三角形记为△A′C′D′，点A，C，D的对应点分别为A′，C′，D′，若△A′C′D′与△BOC重叠部分的面积为S，平移的距离CC′＝m，当点A′与点B重合时停止运动．
①若直线C′D′交直线OC于点E，则线段C′E的长为 m （用含有m的代数式表示）；
②当0＜m＜时，S与m的关系式为 m2 ；
③当S＝时，m的值为 或15﹣2 ．
【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可；
（2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；
②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC上，利用三角形面积公式可得出本题结果；
③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可．
【解答】解：（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b，
∴，
解得．
∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9；
（2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9，
令y＝0，则x＝12，
∴A（12，0），
∴OA＝12，OB＝9，
∴AB＝15；
如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F，
∴CF∥OA，
∴∠OAB＝∠FCC′，
∵∠C′FC＝∠BOA＝90°，
∴△CFC′∽△AOB，
∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15，
∵CC′＝m，
∴CF＝m，C′F＝m，
∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m），
∵C（8，3），
∴直线OC的解析式为：y＝x，
∴E（8﹣m，3﹣m）.
∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m．
故答案为：m．
②法一、当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m），
解得m＝，
∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC，
此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2；
法二、∵C′D′∥BO，
∴△CC′E∽△CBO，
∴＝（）2，即＝，
∴S＝m2．
故答案为：m2．
③法一、
分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；
当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∴M（m，m），
∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3，
D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8；
∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8）
＝﹣m2+m﹣12，
令﹣m2+m﹣12＝；
整理得，3m2﹣30m+70＝0，
解得m＝或m＝＞5（舍）；
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m≤15时，如图4，
此时A′B＝15﹣m，
∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m），
∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2，
令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2．
法二、分情况讨论，当0＜m＜时，由②可知，S＝m2；
令S＝m2＝，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）；（同法一）
当≤m＜5时，如图2，设线段A′D′与直线OC交于点M，
∵S△A′C′D′＝×4×3＝6，
∴S△A′CM＝6﹣＝，
∵S△AOC＝18，
∵A′D′∥OA，
∴△A′CM∽△ACO，
∴＝，
∴CA′＝，
∴m＝C′A′﹣CA′＝5﹣，
当5≤m＜10时，如图3，
S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意；
当10≤m≤15时，如图4，
∵A′D′∥x轴，
∴△A′BK∽△ABO，
∵S＝，S△ABO＝54，
∴＝，解得BA′＝2，
∴m＝BA﹣BA′＝15﹣2．
故答案为：或15﹣2．
【点评】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键．
考点四、反比例函数
反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.
∴.
典例4：（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜0或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2D．﹣1＜x＜2
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
典例5:（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．
【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC＝AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵2m×＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝AD，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，AD＝，
∴m＝×，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，
∴；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
考点五、二次函数
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）

如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距离，即线段AB的长度为.


2、函数平移规律：左加右减、上加下减.
3、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，.
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，.
4、抛物线的对称变换
①关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是.
②关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是.
③关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是.
④关于顶点对称
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
⑤关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是.
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
典例6:（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，
故①正确，符合题意；
②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴②正确，符合题意；
③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
∴③错误，不符合题意；
④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，
当x＝2时，y2＞0，
∴有y1＜0＜y2，
故④正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
考点六、函数的应用
分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.
典例7：（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+1．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： C（2，﹣3）（答案不唯一） ；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围： ﹣1＜x＜5 ；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+1（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+1（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；
（2）求出y＝6时，对应的x值，再结合图象写出x的取值范围即可；
（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，根据题意可知x＝3时，P点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，再求m的值即可；
（4）分两种情况讨论：当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），由S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，求出Q点坐标即可；当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），由S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，求出Q点坐标即可．
【解答】解：（1）C（2，﹣3），
故答案为：C（2，﹣3）（答案不唯一）；
（2）∵y＝x2﹣4x+1，
∴当x2﹣4x+1＝6时，解得x＝5或x＝﹣1，
∴当y＜6时，﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5；
（3）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣3，
当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上，
∴m＝6；
（4）存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：
当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣3的部分上时，设Q（t，t2﹣12x+33），
∴S△OAQ＝2×（t2﹣12x+33）＝9，
解得t＝6+2或t＝6﹣2，
∴t＜4，
∴t＝6﹣2，
∴Q（6﹣2，9）；
当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+1），
∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+1）＝9，
解得m＝2+2或m＝﹣2，
∵m≥4，
∴m＝2+2，
∴Q（2+2，9）；
综上所述：Q点坐标为（6﹣2，9）或（2+2，9）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，1），B（1，﹣2），．
求该二次函数的解析式．