北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则评优课课件ppt

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1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些复合函数的求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的导数).
法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？
三、复合函数的导数的应用
问题1　函数y＝(3x＋2)2是哪些函数复合成的？
提示　是由一次函数u＝3x＋2和二次函数y＝u2复合而成的，即y＝f(u)＝(3x＋2)2.
复合函数一般地，对于两个函数 和 ，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 ，其中u为中间变量.
u＝φ(x)＝ax＋b
注意点：复合函数中，把函数y＝f(u)称为外层函数，把u＝φ(x)称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数.
例1　函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是A.φ(x)＝2x B.φ(x)＝sin xC.φ(x)＝2x－1 D.φ(x)＝sin(2x－1)
解析　y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.
反思感悟　判断复合函数的复合关系的一般方法从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数.
跟踪训练1　(多选)下列哪些函数是复合函数
问题2　(1)你能分别求出y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数吗？
提示　y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.
(2)上面问题(1)中导数有何关系？
提示　y′＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x).
复合函数的求导法则复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝__________________ .
f′(u)φ′(x)，其中u
注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构.(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则.(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
例2　求下列函数的导数：(1)y＝(4－3x)2；
解　设y＝u2，u＝4－3x，则y′u＝2u，u′x＝－3，于是y′x＝y′u·u′x＝－6(4－3x)＝18x－24，即y′＝18x－24.
则y′u＝－sin u，u′x＝2，
(3)y＝ln(4x－1)；
解　设y＝ln u，u＝4x－1，
(4)y＝ .
解　设y＝eu，u＝x2，则y′u＝eu，u′x＝2x，于是y′x＝y′u·u′x＝ ·2x，即y′＝
反思感悟　求复合函数的导数的步骤
跟踪训练2　求下列函数的导数：
解　函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
(2)y＝5lg2(1－x)；
例3　(1)某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝ ，则在t＝40 min时的降雨强度为A.20 mm B.400 mm
(2)曲线y＝f(x)＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，则直线l的方程为_______________________.
x－y＋3＝0或x－y－1＝0
解析　设u＝sin x，则f′(x)＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cs xesin x.f′(0)＝1.则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
反思感悟　复合函数应用问题的关注点(1)正确求导是关键.(2)涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.(3)实际问题中，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况.
跟踪训练3　(1)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是__________.
解析　依题意，设P点坐标为(x0，y0)，又y′＝－e－x，所以 ＝－2，解得x0＝－ln 2，y0＝2，即P(－ln 2,2).
(2)已知某质点的位移s与时间t满足s＝tet－1，则质点在t＝1时的瞬时速度为____.
解析　s′＝(t＋1)et－1，当t＝1时，s′(1)＝2.
1.知识清单：(1)复合函数的概念.(2)复合函数的求导法则.(3)复合函数的导数的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化.
解析　A不是复合函数；BCD都是复合函数.
1.(多选)下列哪些函数是复合函数A.y＝xln x B.y＝(3x＋6)2C.y＝esin x D.y＝
2.已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)等于A.2cs 2x＋2e2x B.cs 2x＋e2xC.2sin 2x＋2e2x D.sin 2x＋e2x
解析　根据题意，f(x)＝sin 2x＋e2x，则f′(x)＝2cs 2x＋2e2x.
3.若f(x)＝lg3(2x－1)，则f′(2)＝______.
4.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝____.
解析　易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
1.(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是A.y＝un，u＝x2－1 B.y＝(u－1)n，u＝x2C.y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1，y＝tn
2.(多选)下列结论中不正确的是
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
3.若f(x)＝e2xln 2x，则f′(x)等于
解析　f′(x)＝(e2x)′ln 2x＋e2x(ln 2x)′
解析　因为y＝sin2x，所以y′＝2sin x(sin x)′＝2sin x·cs x＝sin 2x，
5.函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为A.2x－y－3＝0B.2x＋y－3＝0C.ex－y－2e＋1＝0D.ex＋y＋2e－1＝0
解析　y′＝2e2x－4，则当x＝2时，y′＝2e0＝2，∴斜率为2.又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1，∴切点为(2,1).∴切线方程为2x－y－3＝0.
6.曲线y＝ 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A. e2 B.4e2 C.2e2 D.e2
令x＝0，得y＝－e2；令y＝0，得x＝2.
7.质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为_____m/s.
解析　∵s(t)＝(2t＋1)2，∴s′(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝8×2＋4＝20(m/s).
8.设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(1，f(1))处的切线与y＝ 平行，则a＝____.
9.求下列函数的导数.(1)y＝(2x－1)4；
解　y′＝4(2x－1)3·(2x－1)′＝8(2x－1)3.
(2)y＝e－x·sin 2x；
解　y′＝(e－x)′sin 2x＋e－x·(sin 2x)′＝－e－xsin 2x＋2e－xcs 2x.
10.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝ (0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
将t＝18代入s′(t)，
11.已知点P在曲线y＝ 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
解析　设切点P的坐标为(x0，y0)，
12.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M0· ，其中M0为t＝0时铯137的含量.已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于A.5太贝克 B.75ln 2太贝克C.150ln 2太贝克 D.150太贝克
∴M0＝600.∴M(t)＝600× ，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克).
14.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为____.
解析　设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
15.设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝_______.
解析　因为f(ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，因此f′(1)＝2e－1.
解　∵f(x)＝eπxsin πx，∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcs πx＝πeπx(sin πx＋cs πx).
(2)在曲线y＝ 上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程.
解　设切点坐标为P(x0，y0)，
解得x0＝0，此时y0＝1.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.