人教B版高中数学选择性必修第三册6-2-2导数与函数的极值、最值作业含答案3

【优选】6.2.2 导数与函数的极值、最值-3作业练习

一．填空题

1．

已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性；

（2）当x>1时，f(x)>2(a-2)e恒成立，求a的取值范围.

2．已知函数，若，则的最小值为_______．

3．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是______.

4．已知函数f（x）＝，若f（x1）+f（x2）＝1，则x1+x2的取值范围是______.

5．若对任意，满足，都有，则的最大值为_______.

6．设函数，则的最小值为__________.

7．函数在[－1，1]上的最大．小值分别为和，则____.

8．若函数只有一个零点，则实数的取值范围是 ________．

9．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______．

10．

若当时，不等式恒成立﹐则实数的取值范围是___________.

11．如图，C．D是两所学校所在地，C．D到一条公路的垂直距离分别为.为了缓解上下学的交通压力，决定在AB上找一点P，分别向C．D修建两条互相垂直的公路PC和PD，设，则当最小时，_______.

12．已知关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．

13．设函数的定义域为，若对于任意，存在，使(为常数)成立，则称函数在上的“半差值”为.下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为的函数是___________(填上所有满足条件的函数序号).①；②；③；④.

14．如图，等腰直角三角形（C为直角顶点）所在的平面与半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，且在上射影为点H，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为________.

15．已知函数，其导函数为偶函数，，则函数在区间上的最小值为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】（1）当a=0时，f(x)在R上为单调减函数，当a>0时，f(x)在上为单调减函数，在上为单调增函数，
  当a<0时，f(x)在上为单调增函数，在 上为单调减函数；
（2）.

【解析】

解：（1）因为，所以，

当a=0时，，所以f(x)在R上为单调减函数，

当a>0时，令，得；令，得，

所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为；

当a<0时，令，得；令，得，

所以f(x)的单调减区间为，单调递增区间为.

综上，当a=0时，f(x)在R上为单调减函数，

当a>0时，f(x)在上为单调减函数 ，在上为单调增函数，

当a<0时，f(x)在上为单调增函数，在上为单调减函数；

（2）设，则g(x)的单调性与f(x)的单调性一致，

由题意计算得，，又 由（1）知：

当a=0时，g(x)在上为单调减函数，所以x>1时，g(x)<g(1)=0，不合题意；

当a<0时在上为单调减函数，，不合题意；

当a>0时，若，即a≥1时，g(x)在上为单调增函数，此时，

，所以a≥1满足题意.

若，即0<a<1时，g(x)在上为 单调减函数，在上为单调増函数，

所以，故0<a<1不满足题意.

综上，a的取值范围为.

2．【答案】1

【解析】分析：由条件可得，设，则，则所以，令求出的导数，研究出的导数，得出的最小值，从而得到答案.

详解：由，即

设，则，

所以

令则，

当时，单调递减，当时，单调递增.

因此，即

所以

即.

故答案为：1

【点睛】

关键点睛：本题考查利用导数研究函数的最值问题，解答本题的关键是设，则，所以，令转化为研究函数的最值，属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：“若，使得”转换为集合交集非空，分别根据导数求，的值域，进一步求出答案.

详解：因为

所以

当，，所以单调递减，

因为，所以，

当，，所以单调递增，

因为，使得，

所以

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.

本题主要是转换的思想，“若，使得”可以转换为集合交集非空.

4．【答案】[4﹣3ln3，+∞）

【解析】分析：由题意可知f（x）在R上单调递增，结合已知条件可转化为x1+x2＝1﹣3lnx2+x2，构造函数，然后结合导数与单调性的关系可求．

详解：由题意可知f（x）在R上单调递增，且x≥1时f（x），x＜1时，f（x），

若f（x1）+f（x2）＝1，则x1＜1＜x2，即lnx2+＝1，所以3lnx2+x1＝1，

则x1+x2＝1﹣3lnx2+x2，令g（x）＝1﹣3lnx+x，x＞1，则g（x）＝1﹣＝，

易得1＜x＜3时，函数g（x）单调递减，当x＞3时，函数单调递增，

故x＝3时函数g（x）取得最小值4﹣3ln3，故g（x）的值域[4﹣3ln3，+∞）．

故答案为：[4﹣3ln3，+∞）.

【点睛】

本题考查了分段函数和函数图象应用以及的性质导数的应用，关键是构造函数，属于中档题.

5．【答案】

【解析】分析：构造函数，求导研究函数的单调性即可.

详解：构造函数，，，

所以当时，单调增，

因为对任意，满足，都有，

故，即的最大值为.

故答案为: .

6．【答案】

【解析】分析：利用导数证明函数在定义域上为增函数，再利用单调性求最值即可.

详解：，求导得

当时，，函数在上单调递增，

故答案为：

7．【答案】4

【解析】分析：利用导数求出函数的最值即可求解.

详解：由，则，

令，解得，

令，解得或，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，

，，

所以，

所以.

故答案为：4

8．【答案】或

【解析】分析：将函数的零点转化为方程的根，令，利用导数研究函数的图象特征，即可得到答案；

详解：，

令，则，

令，则在恒成立，

在单调递减，且，

，

在单调递增，在单调递减，且，

当时，，

如图所示，可得当或时，直线与有且仅有一个交点，

故答案为：或

9．【答案】

【解析】分析：利用隐零点法，设使得，即，结合基本不等式可得答案；

详解：，在恒成立，

在单调递增，时，，，

使得，即；

且，，

在单调递减，在单调递增，

，解得：，

实数的取值范围为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最上值求解不等式恒成立问题，求解时注意隐零点法．整体代换思想的应用.

10．【答案】

【解析】

不等式等价于，

设，

由题意知

因为，

易知单调递增，且，

则当时，，单调递减，

当时，单调递增，

因为

故，

则

故答案为：

11．【答案】12

【解析】分析：由题意得：，再利用导数求函数的最小值即可；

详解：由题意得：，

，当时，，

当得：，当得：，

当时，取得最小值，

，

故答案为：12.

【点睛】

利用导数求函数的最值，注意不一定要把的值求出，直接利用复合函数的性质，可简化计算量.

12．【答案】

【解析】分析：由参变量分离法得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

详解：由可得，设，其中，

当时，，则，此时函数单调递增，

当时，，则.

若，，此时函数单调递减，

若，，此时函数单调递增，所以，，

作出函数与的图象如下图所示：

由图可知，当时，即当时，

直线与函数的图象有三个交点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

13．【答案】

【解析】分析：设，，由棱锥体积公式求得三棱锥的体积，由导数求得其最大值，可得值，从而得各线段长，然后作出二面角的平面角，在直角三角形中求得平面角的正切值，得结论．

详解：，，是等腰直角三角形，所以，是中点，

，

则，且，

设，，则，，

，

，

，

记，，

易知时，，递增，时，，递减，

所以时，取得最大值．此时三棱锥的体积最大．

作于，连接，

因为，平面平面，平面，平面平面，

所以平面，又平面，所以，同理，

而，平面，所以平面，

因为平面，所以，所以是二面角的平面角，

又，，则，

所以，

所以．

所以二面角的正切值为．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查求二面角，解题方法：首先引入参数，求得三棱锥的体积，用导数求得最大值，然后作出二面角的平面角，有直角三角形中计算．解题中注意证明．

14．【答案】

【解析】分析：由题意首先确定m，n的值，然后利用导函数研究函数g（x）的单调性，最后由函数的单调性确定函数的最值即可．

详解：由函数的解析式可得：f′（x）＝x2+2mx+n，导函数为偶函数，则m＝0，

故f（x）x3+nx+2，f（1）n+2，∴n＝﹣3，

函数的解析式为f（x）x3﹣3x+2，f′（x）＝x2﹣3，

故g（x）＝ex（x2﹣3），g′（x）＝ex（x2﹣3+2x）＝ex（x﹣1）（x+3），

所以函数g（x）在区间[0，1）上单调递减，在区间（1，2]上单调递增，

函数g（x）的最小值为，

故答案为：﹣2e．