浙教版八年级下册2.3 一元二次方程的应用习题

第2章　一元二次方程

2.3　一元二次方程的应用

第2课时　一元二次方程的应用(二)

基础过关全练

知识点　几何图形问题

1.用6 m长的铝合金材料做一个形状如图所示的长方形窗框.若窗框的面积为1.5 m2,则窗框AB的长为              (　　)

A.1 m　　　　B.1.5 m　　　　C.1.6 m　　　　D.1.8 m

2.学校计划在长为12 m,宽为9 m的长方形地块的正中间建一座劳动实践大棚.大棚是占地面积为88 m2的长方形.建成后,大棚外围留下宽度都相同的区域,这个宽度应设计为              (　　)

A.1.8 m　　　　B.1.5 m　　　　C.1 m　　　　D.0.5 m

3.用一条长为20 cm的绳子能否围成一个面积为30 cm2的长方形?如果能,请说明围法;如果不能,请说明理由.

4.【教材变式·P43作业题T1变式】如图,某小区规划在一个长为16 m,宽为9 m的长方形场地ABCD上,修建同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若草坪部分总面积为112 m2,求小路的宽.

5.某驻村工作队,为带动群众增收致富,巩固脱贫攻坚成效,决定在该村山脚下围一块面积为600 m2的长方形实验茶园,便于成功后大面积推广.如图所示,茶园一面靠墙,墙长35 m,另外三面用69 m长的篱笆围成,其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆),求AB的长.

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6.【主题教育·中华优秀传统文化】《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八百九十一步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是一块长方形田地的面积为891平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?              (　　)

A.15　　　　B.12　　　　C.9　　　　D.6

7.如图,将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形,剩余部分折成一个无盖的盒子(纸板的厚度忽略不计).若该无盖盒子的底面积为900 cm2,则盒子的容积是　              (　　)

A.3 600 cm3　　　　B.4 000 cm3

C.4 500 cm3　　　　D.9 000 cm3

8.某单位要兴建一个长方形的活动区(图中阴影部分),根据规划活动区的长和宽分别为20 m和16 m,同时要在它四周外围修建宽度相等的小路.已知活动区和小路的总面积为480 m2.

(1)求小路的宽度;

(2)某公司希望用50万元承包这项工程,该单位认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.

9.(2022浙江华东师大附属杭州学校期中,21,)如图,利用一面墙(墙长25米)用总长度为49米的栅栏(图中实线部分)围成一个长方形围栏ABCD,且中间共留两个1米宽的小门,设栅栏BC的长为x米.

(1)AB=　　　　米(用含x的代数式表示); 

(2)若长方形围栏ABCD的面积为210平方米,求栅栏BC的长;

(3)长方形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米?若有可能,求出相应x的值,若不可能,请说明理由.

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10.【模型观念】为节省材料,某水产养殖户利用水库堤岸(堤岸足够长)为一边,用总长为120 m的围网在水库中围成如图所示的①②③三块长方形区域,且三块区域的面积相等.设BC的长度为x m.

(1)求AE的长(用含x的代数式表示);

(2)当长方形ABCD的面积为600 m2时,求BC的长.

11.【模型观念】(2022福建南安期中)用总长680 cm的木板制作矩形置物架ABCD(如图),已知该置物架上面部分为正方形ABFE,下面部分是两个全等的矩形DGMN和矩形CNMH,中间部分为矩形EFHG.已知DG=60 cm,设正方形的边长AB=x cm.

(1)当x=72时,EG为　　　　cm; 

(2)置物架ABCD的高AD为　　　　cm(用含x的代数式表示); 

(3)为了便于放置物品,EG的高度不小于22 cm,若矩形ABCD的面积为12 000 cm2,求x的值.

答案全解全析

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1.B　设窗框AB的长为x m,则AB的邻边长为 m,

依题意得x·=1.5,

整理得4x2-12x+9=0,解得x1=x2=1.5.

故选B.

2.D　设大棚外围留下的宽度为x m,

则大棚的长为(12-2x)m,宽为(9-2x)m,

依题意得(12-2x)(9-2x)=88,

整理得2x2-21x+10=0,

解得x1=0.5,x2=10(不合题意,舍去).

故选D.

3.解析　不能.理由:设围成的长方形的长为x cm,则宽为(10-x)cm.

根据题意,得x(10-x)=30,即x2-10x+30=0.

因为b2-4ac=(-10)2-4×30=-20<0,

所以此一元二次方程无实数根.

∴用一条长为20 cm的绳子不能围成一个面积为30 cm2的长方形.

4.解析　设小路的宽度为x m,那么草坪的总长度和总宽度分别为(16-2x)m,(9-x)m.

根据题意即可得出方程为(16-2x)(9-x)=112,

解得x1=1,x2=16.

∵16>9,∴x=16不符合题意,舍去,∴x=1.

答:小路的宽为1 m.

5.解析　设AB的长为x m,则BC的长为(69+1-2x)m,

根据题意,得x(69+1-2x)=600,

整理,得x2-35x+300=0,解得x1=15,x2=20,

当x=15时,70-2x=40>35,不符合题意,舍去;

当x=20时,70-2x=30<35,符合题意.

答:AB的长为20 m.

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6.D　设长为x步,则宽为(60-x)步,

依题意得x(60-x)=891,解得x1=33,x2=27.

又∵x≥60-x,∴x≥30,∴x=33,

∴x-(60-x)=33-(60-33)=6,∴长比宽多6步.

故选D.

7.C　设剪掉的正方形的边长为x cm,则做成的无盖盒子的底面为正方形,其边长为(40-2x)cm,

依题意得(40-2x)2=900,

解得x1=5,x2=35(不合题意,舍去),

∴盒子的容积为900×5=4 500(cm3).

故选C.

8.解析　(1)设小路的宽度是x m,

根据题意得(20+2x)(16+2x)=480,

整理得4x2+72x-160=0,解得x1=2,x2=-20(舍去).

答:小路的宽度是2 m.

(2)设每次降价的百分率为y,

依题意得50(1-y)2=32,

解得y1=0.2=20%,y2=1.8(舍去).

答:每次降价的百分率为20%.

9.解析　(1)∵栅栏的全长为49米,且中间共留两个1米宽的小门,

∴AB=49+2-3x=(51-3x)米,故答案为(51-3x).

(2)依题意,得(51-3x)x=210,

整理,得x2-17x+70=0,解得x1=7,x2=10.

当x=7时,AB=51-3x=30>25,不合题意,舍去,

当x=10时,AB=51-3x=21<25,符合题意.

答:栅栏BC的长为10米.

(3)不可能.理由如下:依题意,得(51-3x)x=240,

整理得x2-17x+80=0,∵(-17)2-4×1×80=-31<0,

∴方程没有实数根,∴长方形围栏ABCD面积不可能达到240平方米.

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10.解析　(1)设BE=a m,

由题意知S长方形AEFD=2S长方形EBCF,

∴AE·EF=2BE·BC,∴AE·x=2ax,

∴AE=2a m,∴AB=3a m,

依题意得2×3a+2a+2x=120,

∴a=-x+15,∴AE的长为m.

(2)依题意得3a·x=600,即3x=600,

整理得x2-60x+800=0,解得x1=20,x2=40.

∵∴0<x<60,∴x1=20,x2=40均符合题意.

答:BC的长为20 m或40 m.

11.解析　由题意可得MN=CH=DG=60 cm,

AE=BF=EF=CD=GH=AB=x cm,

∴EG==(250-3x)cm.

(1)当x=72时,EG=250-3x=250-3×72=34(cm).

故答案是34.

(2)依题意得AD=AE+EG+GD=(310-2x)cm.

故答案是(310-2x).

(3)依题意得x(310-2x)=12 000.

整理,得x2-155x+6 000=0,解得x1=75,x2=80.

∵EG的高度不小于22 cm,即250-3x≥22,∴x≤76,∴x2=80不合题意,舍去.

答:x的值为75.