人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系同步练习题

课时作业(五)　空间直角坐标系

一、选择题

1．(2022天津静海大邱庄中学月考)如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E1＝A1B1，则等于(　　)

A．   B．

C．   D．

答案：C

2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形　   B．等边三角形

C．直角三角形　   D．等腰直角三角形

答案：C

解析：＝(3,4，－8)，＝(2，－3,1)，＝(5,1，－7)，于是·＝10－3－7＝0，而||＝，||＝5，所以△ABC是直角三角形．

3．(2022辽宁大连一○三中学月考)已知O为坐标原点，向量a＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．若点E在直线AB上，且⊥a，则点E的坐标为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案：A

4．(多选题)已知点A(－1,2,0)，B(－3,4，2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为(　　)

A．(－2,3,1)   B．(2，－3，－1)

C．(0，－1,1)   D．(0,1，－1)

答案：AD

5．(多选题)下列各命题正确的是(　　)

A．点(1，－2,3)关于平面xOz的对称点为(1,2,3)

B．点关于y轴的对称点为

C．点(2，－1,3)到平面yOz的距离为1

D．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝(3，－2,4)．

答案：ABD

解析：“关于谁对称谁不变”，∴A正确，B正确，C中(2，－1,3)到面yOz的距离为2，∴C错误．根据空间向量的坐标定义，D正确．

二、填空题

6．(2022浙江东阳中学模拟)在空间四边形ABCD中，若＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则＝________，的坐标为________________．

答案：　(－2，－3，－3)

7．(2022安徽皖中名校联盟联考)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos∠EAF＝________，EF＝________.

答案：　

解析：以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则E，F，

∴＝，＝，＝.

∴cos〈，〉＝＝＝，

∴cos∠EAF＝，

EF＝||＝＝.

三、解答题

8．(2022山东师范大学附中月考)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)．

(1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标；

(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．

解：(1)＝(1，－3,2)，点D在直线AC上，

设＝λ＝λ(1，－3,2)，

∵－＝λ(1，－3,2)，

∴＝＋λ(1，－3,2)＝(λ，2－3λ，3＋2λ)，

＝－＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2,1,6)＝(λ＋2,1－3λ，2λ－3)，

∵⊥，

∴·＝(1，－3,2)·(λ＋2,1－3λ，2λ－3)＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，

∴λ＝，＝，

∴D.

(2)∵＝(2,1，－3)，＝(3，－2，－1)，

∴||＝＝，

||＝＝.

∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，

∴cos B＝cos〈，〉＝＝＝，sin B＝，

S＝××＝7，

∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7.

9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求三棱柱的侧棱长；

(2)若M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量；

(3)求与夹角的余弦值．

解：(1)设侧棱长为b，则A(0，－1,0)，B1(，0，b)，B(，0,0)，C1(0,1，b)，

所以＝(，1，b)，＝(－，1，b)．

因为AB1⊥BC1，

所以·＝(，1，b)·(－，1，b)

＝－()2＋12＋b2＝0，

解得b＝.

故三棱柱侧棱长为.

(2)因为M为BC1的中点，

所以＝(＋)＝(＋＋)

＝＋＋.

(3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1,0)，

因为||＝＝，

||＝＝2，

·＝(，1，)·(－，1,0)

＝－()2＋1×1＝－2，

所以cos〈·〉＝＝＝－.

所以与夹角的余弦值为－.